Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами касательных, окружностей и треугольников. Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 как r1 и r2 соответственно. Также обозначим точки касания прямой NX с окружностями w1 и w2 как A и B соответственно. Поскольку точка X - это точка касания окружностей, то ее положение будет определяться расстоянием между центрами окружностей O1 и O2, которое равно r1 + r2. Заметим, что треугольники YNX и ZNX подобны, поскольку у них одинаковые углы при вершине N. Пусть угол YNZ равен α. Тогда угол YO1X равен 5α, а угол ZO2X равен также 5α. Рассмотрим треугольник YO1X. В нем угол O1YX равен 180° - 5α, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Также стоит отметить, что угол O1XY равен 90°, поскольку прямая NX является касательной к окружности w1. Из этих двух равенств мы можем заключить, что угол XO1Y равен 5α. Аналогичные рассуждения можно сделать для треугольника ZO2X. В нем угол XO2Z также равен 5α. Таким образом, имеем следующую информацию: - Угол YO1X равен 5α. - Угол ZO2X равен 5α. - Угол XO1Y равен 5α. - Угол XO2Z равен 5α. Теперь рассмотрим треугольник NXY. В нем угол NYX равен 180° - α, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Также стоит отметить, что угол NYX равен углу YNX. Мы уже знаем, что угол YNX равен α. Таким образом, угол NYX также равен α. Обратим внимание на треугольник NXY. В нем угол YNX равен α, угол NYX равен α, а угол NXY равен 180° - 2α, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим теперь треугольник NXYZ. В нем угол YNX равен α, угол ZNX равен α, а угол NYZ равен 180° - 2α, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Мы знаем, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. То есть, 5(5α) = 180° - 2α. Упростим это уравнение: 25α = 180° - 2α. Добавим 2α к обеим сторонам: 27α = 180°. Разделим обе стороны на 27: α = 180° / 27 = 6.67°. Теперь можем найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обратимся к треугольнику NXY. Мы знаем, что угол YNX равен 6.67°. Так как угол YNX является прямым углом, то угол NYX равен (180° - 6.67°) / 2 = 86.67°. Рассмотрим треугольник YNZ. У него два угла равны 6.67° и 86.67°, поскольку они соответствуют углам YNX и NYX. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол YNZ равен (180° - 6.67° - 86.67°) = 86.67°. Теперь можем найти отношение длин отрезков YZ и NX. Поскольку треугольники YNZ и NXY подобны, то соответствующие стороны этих треугольников должны быть пропорциональны. Обозначим длину отрезка YZ как y и длину отрезка NX как x. Тогда имеем следующую пропорцию: y / YN = x / NY. Подставим известные значения: y / (r1 + r2) = x / (r1 - r2). Умножим обе стороны на (r1 - r2): y = x * (r1 + r2) / (r1 - r2). Теперь выразим y через x: y = (r1 + r2) / (r1 - r2) * x. Мы выразили отношение длин отрезков YZ и NX через переменную x. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно (r1 + r2) / (r1 - r2). Ответ: отношение длин отрезков YZ и NX равно (r1 + r2) / (r1 - r2).