Заметим, что треугольник NXZ подобен треугольнику NYZ, так как у них один общий угол (угол NXZ = угол NYZ), а за счет того, что они касаются к окружностям, у них равны углы по теореме о вписанном угле.
Теперь по условию задачи сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Обозначим угол YNX через a, тогда углы YO1X и ZO2X будут равны 2a.
Так как треугольник nxz подобен треугольнику nyz, то у них соотношение длин сторон будет такое же, как соотношение длин дуг NX и NY: NX / NZ = NY / NX.
Обозначим длину отрезка YN через b. Тогда длины отрезков NX и NZ будут равны b/a и b/2а соответственно.
Теперь обратимся к синусам треугольников NXZ и NYZ. Так как угол NXZ = угол NYZ, то у них соответственные стороны будут пропорциональны по формуле синусов: NX / NZ = sin(NXZ) / sin(NYZ).
Подставим значения NX и NZ в эту пропорцию: (b/a) / (b/2a) = sin(NXZ) / sin(NYZ).
Упростим выражение, сократив a: 2 = sin(NXZ) / sin(NYZ).
Теперь заметим, что упомянутая в задаче сумма углов YO1X и ZO2X составляет 2a, то есть 2a = 2, а значит sin(NXZ) / sin(NYZ) = 1, или sin(NXZ) = sin(NYZ).
Так как угол NXZ < 90 (так как треугольники подобны, и угол NYZ = угол NXZ), то из этого равенства следует, что угол NXZ = угол NYZ. Таким образом, треугольник NXZ – равнобедренный. Заключаем, что угол NXZ = угол NZX.
Теперь посмотрим на треугольник NXY. В нем угол N равен углу NXZ + углу NXZ, так как NX касательная, а значит угол NYZ + угол YNZ = угол N. Получаем уравнение: a + a = N, и из него следует, что угол NYZ = a.
Вспомним, что у нас уже есть равенство углов NYZ и NXZ. Пусть эти углы равны x: NXZ = x, NYZ = x.
Теперь посмотрим на треугольник O1XO2. В нем сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Угол YNZ прямой, так как YN – касательная к окружности. Значит, YNZ = 90.
Теперь из условия задачи имеем: YO1X + ZO2X = 2 * YNZ. То есть a + a = 2 * 90. Отсюда следует, что a = 90, то есть треугольник NXZ – равнобедренный и прямоугольный.
А так как угол NYZ = a = 90, то треугольник NYZ – прямоугольный. Значит, угол Y считается прямым, и NY – это диаметр окружности w1.
В итоге, треугольники NxZ и NyZ – прямоугольные и подобные. Значит, соотношение их сторон b/a = NX / NZ = YZ / NY. Также окружность w1 – это окружность, вписанная в треугольник NYZ, а окружность w2 – это вневписанная окружность треугольника NYZ.
Так как вневписанная окружность касается сторон треугольника в точках касания его других сторон, то т.к. YN – диаметр окружности w1, то прямая, проходящая через точку Z и касательная к окружности w2, касается w2 в точке X. Поэтому точка и касание общей образуют отрезок NZ=XZ.
Вспомним, что мы хотим найти отношение длин отрезков YZ и NX. Найдем его: YZ / NX = b / (b / a) = a.
То есть, искомое отношение равно a.
Итак, мы получили, что отношение длин отрезков YZ и NX равно a, а a равна тому углу, который прилегает к касательной NY и образован прямым углом непосредственно при касании.
Ответ: a.
