Дано: Окружности соответствующие w1 и w2, их центры O1 и O2, точка касания X, прямая NX - общая касательная, NY и NZ - вторые касательные. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Решение: Поскольку точка X - точка касания окружностей w1 и w2, то линии, соединяющие эту точку с центрами окружностей, будут перпендикулярны к линии NX. Таким образом, угол YO1X будет прямым, а угол ZO2X также будет равен прямому углу. Определим отношение углов по условию задачи: Углы YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Пусть угол YNZ равен x градусам. Тогда углы YO1X и ZO2X равны 2x градусам. Таким образом, угол YO1X = 2x градусов и угол ZO2X = 2x градусов. Так как угол YO1X и угол ZO2X прямые, то сумма этих углов должна равняться 180 градусов: 2x + 2x = 180 4x = 180 x = 45 Теперь мы знаем значение угла YNZ - 45 градусов. Поскольку угол YNZ является углом между окружностями w1 и w2, он является вписанным углом, и его половина составляет угол между касательной NY и радиусом O1X. Следовательно, угол NYX равен половине угла YNZ, т.е. 22.5 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, угол YNX равен 180 - 90 - 22.5 = 67.5 градусов. Таким образом, угол YNX равен 67.5 градусам. Для нахождения отношения длин отрезков YZ и NX нужно провести дополнительные рассуждения. Возьмем точку M на отрезке NX такую, что MN = NY и MP = NZ. Тогда треугольники NYM и NZP будут прямоугольными. Так как отрезки NY и NZ равны, а угол NYX и угол NZX имеют равные прямые углы с NX, то треугольники NYM и NZP будут подобными. Следовательно, отношение длин отрезков YM и ZP должно быть равно отношению длин отрезков NY и NZ: YM / ZP = NY / NZ Так как треугольник NYM прямоугольный, можно применить теорему Пифагора: YM^2 = NY^2 + MN^2 YM^2 = NY^2 + NY^2 YM^2 = 2NY^2 YM = sqrt(2)*NY Аналогичным образом можно получить, что ZP = sqrt(2)*NZ. Теперь подставим эти значения в уравнение для отношения длин отрезков YM и ZP: sqrt(2)*NY / sqrt(2)*NZ = NY / NZ NY сокращаются: 1 / sqrt(2) = 1 Сокращение происходит с обеих сторон, поэтому уравнение верно. Значит, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1 : sqrt(2).