Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 как r1 и r2 соответственно. Также обозначим точки касания прямой NX с окружностями w1 и w2 как A и B соответственно. Так как прямая NX является общей касательной для окружностей w1 и w2, то отрезки NA и NB являются радиусами окружностей и, следовательно, равны r1 и r2 соответственно. Также из условия задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Обозначим угол YNZ как α. Тогда угол YO1X равен 2α и угол ZO2X равен 2α. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник O1XA с прямым углом в точке X. Угол O1AX равен α, а угол O1XA равен 90 градусов. Также у нас есть прямоугольный треугольник O2XB с прямым углом в точке X. Угол O2BX равен α, а угол O2XB равен 90 градусов. Заметим, что угол YNA равен α, так как это угол касательной и радиуса окружности w1. Аналогично, угол ZNB равен α. Теперь рассмотрим треугольник YNZ. У него есть два равных угла: YNA и ZNB, они равны α. Также дано, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ, то есть 2(2α) = 4α. Таким образом, угол YO1X равен 4α, а угол ZO2X тоже равен 4α. Теперь рассмотрим треугольник NXO1. Заметим, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Тогда угол XNO1 равен 180 - (90 + 4α) = 90 - 4α. Аналогично, угол XNO2 равен 90 - 4α. Заметим, что у треугольников NXO1 и NXO2 общая сторона NX. Поэтому они подобны. Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению длин отрезков O1X и XN. Теперь рассмотрим треугольник YNO1. В нем угол YNA равен α, угол YAN равен α (так как это вертикально противолежащие углы) и угол YNO1 равен 90 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол YO1N равен 180 - (90 + α) = 90 - α. Аналогично, в треугольнике ZNO2 угол ZNO2 равен 90 - α. Заметим, что треугольники YNO1 и NXO1 имеют два равных угла: YAN и YNO1, они равны α. Поэтому эти треугольники подобны. Аналогично, треугольники ZNO2 и NXO2 подобны. Теперь посмотрим на подобные треугольники YNO1 и NXO1. Мы знаем, что соотношение между длинами сторон подобных треугольников равно соотношению соответствующих сторон. То есть $frac{text{длина стороны } YO1}{text{длина стороны } XN}} = frac{text{длина стороны } YN}{text{длина стороны } NO1}}$. Мы знаем, что сторона YN равна радиусу окружности w1, то есть r1, а сторона NO1 равна радиусу окружности w1 минус сторона NX, то есть r1 - NX. Таким образом, $frac{text{длина стороны } YO1}{text{длина стороны } XN}} = frac{r1}{r1 - NX}$. Аналогично, в треугольнике ZNO2 имеем: $frac{text{длина стороны } ZO2}{text{длина стороны } XN}} = frac{text{длина стороны } ZN}{text{длина стороны } ZO2}} = frac{r2}{r2 - NX}$. Теперь заметим, что угол YO1X равен 4α и угол ZO2X тоже равен 4α. Тогда угол XO1Y равен 180 - (YO1X + O1YX) = 180 - (4α + 90) = 90 - 4α. Аналогично, угол XO2Z равен 90 - 4α. Рассмотрим прямоугольный треугольник XO1Y. У него катеты O1X и O1Y равны r1 и катет XO1 равен YNX (по теореме синусов). Тогда по теореме Пифагора $r1^2 = (YNX)^2 + (r1 - NX)^2$. Аналогично, в треугольнике XO2Z имеем: $r2^2 = (ZNX)^2 + (r2 - NX)^2$. Теперь рассмотрим треугольник YNZ. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Тогда угол ZNY равен 180 - (YNZ + ZYN) = 180 - (α + α) = 180 - 2α. Заметим, что треугольники YNZ и XYN подобны. Поэтому по теореме Пифагора имеем: $(YNX)^2 + (ZNX)^2 = (YNZ)^2$. Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из равенств для треугольников XO1Y и XO2Z, а также из равенства для треугольника YNZ. Имеем: $r1^2 = (YNX)^2 + (r1 - NX)^2$ $r2^2 = (ZNX)^2 + (r2 - NX)^2$ $(YNX)^2 + (ZNX)^2 = (YNZ)^2$. Решив эту систему уравнений, мы найдем значения YNX, ZNX и YNZ. Теперь вернемся к отношению длин отрезков YZ и NX. Мы знаем, что отношение длин отрезков YO1 и XN равно r1/(r1 - NX), а отношение длин отрезков ZO2 и XN равно r2/(r2 - NX). Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно $frac{frac{r1}{r1 - NX} + frac{r2}{r2 - NX}}{2}$. Итак, чтобы найти отношение длин отрезков YZ и NX, необходимо: 1. Решить систему уравнений для треугольников XO1Y, XO2Z и YNZ, чтобы найти значения YNX, ZNX и YNZ. 2. Подставить найденные значения в формулу $frac{frac{r1}{r1 - NX} + frac{r2}{r2 - NX}}{2}$, где r1, r2 и NX известны.