Данная задача связана с касательными окружностей и углами. Обозначим центр первой окружности как O1, радиус - r1, центр второй окружности - O2, радиус - r2. Также обозначим точку касания окружностей как X. Так как NX - общая касательная к окружностям, то отрезок NX перпендикулярен радиусу, проведенному в точке касания. Получим, что угол NO1X прямой. Проведем радиусы O1Y и O2Z. Так как NY и NZ являются касательными, то углы YNZ и YO1X также прямые. Так как углы YO1X и ZO2X прямые, то получаем, что угол YO1X + ZO2X = 180 градусов. Дано условие, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Найдем угол YO1X: YO1X = (YO1N + NO1X) = 90 + 90 = 180 градусов. Теперь можем записать уравнение для суммы углов YO1X и ZO2X: 180 + ZO2X = 3 * YNZ. Так как YNZ прямой угол, то его измерение равно 180. Подставим это значение в уравнение: 180 + ZO2X = 3 * 180, ZO2X = 3 * 180 - 180, ZO2X = 360. Теперь нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обозначим точку пересечения отрезков NZ и O1Y как M. Так как треугольник YNZ является прямоугольным, получим: MЗ : ZM = YM : YZ, O1M = r1, O1M : ZM = YM : YZ, r1 : ZM = YM : YZ. Возьмем треугольник NZO2 и теорему Пифагора: O2Z^2 = NZ^2 + ZO2^2, ZO2^2 = O2Z^2 - NZ^2, ZO2^2 = (r2 + r1)^2 - (r2 - r1)^2, ZO2^2 = 4 * r1 * r2. Так как в треугольнике ONZ (равнобедренный треугольник) O1M = ZM, то можем записать: r1 : ZM = r1 : O1M, r1 * O1M = r1 * ZM. Сокращаем r1 и получаем: O1M = ZM. Таким образом, получаем, что YZ : NX = O1M : ZO2X. Подставляем известные значения: YZ : NX = O1M : ZO2X = r1 * O1M : 360. Таким образом, ответ на задачу - отношение длин отрезков YZ и NX равно r1 * O1M : 360.