Пусть радиус окружности w1 равен R1, а радиус окружности w2 - R2. Так как окружности w1 и w2 касаются в точке X, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: |O1X| + |XO2| = R1 + R2. Пусть точка Y лежит на окружности w1, а точка Z - на окружности w2. Так как прямая NX - общая касательная, то угол XO1Y = 90°, а угол XO2Z = 90°. Также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ. Пусть сумма углов YO1X и ZO2X равна α. Тогда угол YNZ = α. Так как угол XO1Y = 90°, а угол YO1X равен α, то угол O1YX = 90° - α. Аналогично, угол O2XZ = 90° - α. Теперь рассмотрим треугольник O1YX. В нем сумма углов равна 180°, поэтому: α + 90° - α + ∠O1XY = 180°. Отсюда получаем, что ∠O1XY = 90°. Аналогично для треугольника O2XZ получаем, что ∠O2XZ = 90°. Таким образом, треугольники O1YX и O2XZ - это прямоугольные треугольники. Рассмотрим отношение длин отрезков YZ и NX. В треугольнике O1YX можно применить теорему Пифагора: |O1Y| ^ 2 + |YX| ^ 2 = |O1X| ^ 2. Так как O1Y = R1, YX = NX, O1X = R1 + R2, получаем: R1 ^ 2 + NX ^ 2 = (R1 + R2) ^ 2. Раскрывая скобки в правой части равенства, получаем: R1 ^ 2 + NX ^ 2 = R1 ^ 2 + 2 * R1 * R2 + R2 ^ 2. Сокращая R1 ^ 2 на обеих сторонах равенства, получаем: NX ^ 2 = 2 * R1 * R2 + R2 ^ 2. Рассмотрим теперь треугольник O2XZ. Также применим теорему Пифагора: |O2Z| ^ 2 + |ZX| ^ 2 = |O2X| ^ 2. Так как O2Z = R2, ZX = NX, O2X = R1 + R2, получаем: R2 ^ 2 + NX ^ 2 = (R1 + R2) ^ 2. Раскрывая скобки в правой части равенства, получаем: R2 ^ 2 + NX ^ 2 = R1 ^ 2 + 2 * R1 * R2 + R2 ^ 2. Сокращая R2 ^ 2 на обеих сторонах равенства, получаем: NX ^ 2 = R1 ^ 2 + 2 * R1 * R2. Таким образом, мы получили два уравнения: NX ^ 2 = 2 * R1 * R2 + R2 ^ 2, NX ^ 2 = R1 ^ 2 + 2 * R1 * R2. Сравнивая эти уравнения, можно заметить, что они эквивалентны. Таким образом, получаем, что 2 * R1 * R2 + R2 ^ 2 = R1 ^ 2 + 2 * R1 * R2. Сокращая общий член 2 * R1 * R2 на обеих сторонах равенства, получаем: R2 = R1. Таким образом, радиусы окружностей w1 и w2 равны друг другу. Теперь рассмотрим треугольник NXY. В нем: ∠Y = 90°, ∠X = α. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то: ∠NXY = 180° - 90° - α = 90° - α. Таким образом, в треугольнике NXY два угла являются прямыми, то есть треугольник NXY - прямоугольный. Так как радиусы окружностей w1 и w2 равны, то угол NYZ также равен α, так как треугольник YNZ является прямоугольным. Таким образом, треугольники YNZ и NXY - это два прямоугольных треугольника с общим углом α. Известно также, что угол YNZ равен α. Так как сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°, получаем, что: α + α + 90° = 180°. Решая это уравнение, получаем, что α = 45°. Таким образом, угол YO1X = 45° и угол ZO2X = 45°. В треугольнике O1YX угол, противоположный стороне O1X, равен 90° - α = 45°. Так как в этом треугольнике два угла равны 45°, то третий угол также равен 45°. Таким образом, треугольник O1YX равнобедренный. Аналогично, треугольник O2XZ равнобедренный. Рассмотрим отношение длин отрезков YZ и NX. Из равнобедренности треугольника O1YX следует, что отношение длины отрезка YZ к длине отрезка NX равно отношению длины высоты, опущенной на основание O1X (высота треугольника O1YX), к длине стороны O1X треугольника O1YX. Аналогично, из равнобедренности треугольника O2XZ следует, что отношение длины отрезка YZ к длине отрезка NX равно отношению длины высоты, опущенной на основание O2X (высота треугольника O2XZ), к длине стороны O2X треугольника O2XZ. Так как высоты треугольников O1YX и O2XZ равны, а стороны O1X и O2X равны, то отношение длин отрезков YZ и NX равно 1. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.