Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны соответственно r1 и r2. Также обозначим угол YO1X как α и угол ZO2X как β. Так как NX — общая касательная к окружностям w1 и w2, то угол NO1X = угол NO2X = 90 градусов. Так как прямая NX перпендикулярна радиусам, то треугольники NO1X и NO2X являются прямоугольными. Также треугольники Треугольники O1OX и O2OX являются равнобедренными, поскольку радиусы соответствующих окружностей равны. Пусть YO1 = O1X = a, а ZO2 = O2X = b. Тогда NO1 = O1O = r1 - a и NO2 = O2O = r2 - b. Треугольники NO1X и NO2X являются подобными (по двум углам) треугольниками NOY и NOZ, соответственно. Из подобия треугольников NO1X и NOY получаем: NO1 / NOY = NO1X / NOX (r1 - a) / (r1 - a + a) = a / NX (r1 - a) / (r1 - a + a) = a / (r1 - a) Так как NO1 + O1X = r1, то равенство можно переписать в виде: r1 - a / (r1 - a + a) = a / (r1 - a) (r1 - a) ^ 2 = a * (r1 - a + a) (r1 - a) ^ 2 = a * r1 r1 ^ 2 - 2ar + a ^ 2 = a * r1 r1 ^ 2 - 2ar = 0 ( r1 - 2a ) * r1 = 0 Таким образом, r1 = 2a или a = r1 / 2 Аналогично, из подобия треугольников NO2X и NOZ получаем: (r2 - b) / (r2 - b + b) = b / (r2 - b) Аналогично предыдущему рассуждению, получаем: r2 = 2b или b = r2 / 2 Теперь рассмотрим угол YNZ. По условию задачи, сумма углов YO1X и ZO2X в два раза больше угла YNZ: α + β = 2 * ∠YNZ α + β = 2 * (180 - ∠YON) α + β = 2 * (180 - α - β) α + β = 360 - 2α - 2β 3α + 3β = 360 α + β = 120 Так как α = YO1X, а β = ZO2X, то: YO1X + ZO2X = 120 Заметим, что угол YNZ можно представить в виде суммы трех углов: YNO1, ONX и XNZ. Подставим значения углов, полученные из подобия треугольников: ∠YNZ = YNO1 + ONX + XNZ ∠YNZ = 90 + α + β Подставим значение α + β: ∠YNZ = 90 + 120 ∠YNZ = 210 Таким образом, ∠YNZ = 210 градусов. Теперь посмотрим на треугольник NOX. В нем сумма углов равна 180 градусов: NOX + ONX + ∠NXO = 180 Так как NOX = 90 градусов и ONX = α, а XNO = β, то: 90 + α + β = 180 α + β = 90 (1) Из уравнения (1) следует, что α = 90 - β. Теперь рассмотрим треугольник YNZ. В нем сумма углов после подстановки полученного значения α равна: YNZ + ZNY + ∠YNZ = 180 ∠YNZ + ZNY + 210 = 180 ∠YNZ + ZNY = -30 Углы не могут быть отрицательными, поэтому полученное равенство невозможно. Таким образом, задача некорректна и не имеет решения.