Рассмотрим треугольник YNZ. Угол YNZ — это угол между касательной и радиусом окружности. В треугольнике YNZ все углы должны быть меньше 180 градусов, поэтому угол YNZ является острым углом. Также задано, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ, то есть: YO1X + ZO2X = 2YNZ Рассмотрим треугольник YNX. Угол YNX также является острым углом, так как он между касательной и радиусом окружности. Также известно, что касательные, проведенные из точки N к окружностям, являются вторыми касательными. Вторая касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, проведенному из точки касания. Это значит, что углы YNX и ZNX также являются прямыми углами. Теперь рассмотрим треугольник YO1X. Угол YO1X является полуострым или тупым, так как он расположен между перпендикуляром и касательной окружности. Поскольку сумма углов YO1X и ZO2X равна 2YNZ, а угол YNX является прямым углом, мы можем записать следующее: YO1X + ZO2X = 2YNZ YO1X + ZO2X = 2(YNX + XNZ) YO1X + ZO2X = 2(90° + XNZ) YO1X + ZO2X = 180° + 2XNZ Таким образом, угол YO1X + ZO2X должен быть равен 180° + 2XNZ. Поскольку угол YO1X является полуострым или тупым, его максимальное значение составляет 180°. Таким образом, мы получаем неравенство: 180° + 2XNZ ≤ 180° Это означает, что угол YO1X должен быть равным нулю, что возможно только если точка Y совпадает с точкой O1. Таким образом, треугольники YO1X и XO1N являются прямоугольными. Рассмотрим теперь треугольник XO2Z. Угол XO2Z также является полуострым или тупым, так как он расположен между перпендикуляром и касательной окружности. Аналогично, поскольку угол YO1X + ZO2X равен нулю, мы получаем неравенство: 180° + 2XNZ ≤ 180° Это означает, что угол XO2Z должен быть равным нулю, что возможно только если точка Z совпадает с точкой O2. Таким образом, треугольники XO2Z и ZO2N являются прямоугольными. Обозначим длину отрезка YZ как d1 и длину отрезка NX как d2. Тогда, поскольку треугольники YO1X и XO1N являются прямоугольными, мы можем применить теорему Пифагора и записать следующее: d1² + d2² = O1X² Аналогично, поскольку треугольники XO2Z и ZO2N являются прямоугольными, мы можем записать следующее: d1² + d2² = O2X² Так как Y и Z совпадают соответственно с O1 и O2, мы можем положить O1X равным O2X и записать следующее: d1² + d2² = O1X² = O2X² Таким образом, значение длин отрезков YZ и NX будет равно величине O1X или O2X. Ответ: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.