Решение данной задачи можно разбить на несколько шагов: 1. Введение обозначений. 2. Поиск угла YO1X. 3. Поиск угла ZO2X. 4. Поиск угла YNZ. 5. Поиск отношения длин отрезков YZ:NX. 1. Введение обозначений Пусть радиусы окружностей w1 и w2 соответственно равны r1 и r2. Пусть также отрезок O1X имеет длину а, а отрезок O2X - длину b. Обозначим угол YO1X через α, а угол ZO2X - через β. Тогда отрезок YN имеет длину r1, а отрезок ZN - длину r2. 2. Поиск угла YO1X. Поскольку угол YO1X - это угол при основании прямоугольного треугольника YO1X, можно воспользоваться тангенсом. Из прямоугольного треугольника YO1X получаем: tg(α) = r1 / a. 3. Поиск угла ZO2X. Аналогично, угол ZO2X - это угол при основании прямоугольного треугольника ZO2X. Используем также тангенс: tg(β) = r2 / b. 4. Поиск угла YNZ. Ясно, что угол YNZ - это угол между касательными NY и NZ. Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, угол YNZ состоит из двух частей: угола YO1X и угла между O1X и O2X. Обозначим угол между O1X и O2X через γ. Тогда угол YNZ можно выразить следующим образом: угол YNZ = α + γ. 5. Поиск отношения длин отрезков YZ:NX. Согласно условию задачи, сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. То есть, α + β = 5(α + γ). Раскрываем скобки: α + β = 5α + 5γ. Выражаем γ: 4α = 4γ. Так как α = α, то градусы находяют на одной и той же стороне от знака равенства, то α = γ. Теперь можно выразить отношение длин отрезков YZ:NX: YZ / NX = r1 / a. В итоге, отношение длин отрезков YZ:NX равно r1 / a. Очевидно, что необходимо дальнейшее изучение, так как невозможно найти отношение длин отрезков YZ:NX только зная радиусы окружностей w1 и w2 и длину отрезка O1X. Нужны дополнительные данные для решения задачи.