Для решения этой задачи воспользуемся следующими свойствами окружностей и касательных: 1. Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. 2. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны по длине. 3. Касательные, проведенные к окружности из точки, лежащей на радиусе, равные по длине. 4. Аксиома о сумме углов треугольника (сумма углов треугольника равна 180 градусов) Обозначим угол YO1X как α, угол ZO2X как β, и угол YNZ как γ. Так как сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ, то можно записать следующее уравнение: α + β = 3γ (1) Также известно, что углы между касательными и радиусами равны 90 градусов. Значит, угол O1NY равен α/2, и угол O2NZ равен β/2. Так как касательная NY проведена из точки N, которая лежит на радиусе O1X, то можно записать следующее уравнение: α/2 + γ = 90° (2) Аналогично, касательная NZ проведена из точки N, которая лежит на радиусе O2X, вот поэтому можно записать следующее уравнение: β/2 + γ = 90° (3) Из уравнений (2) и (3) можно выразить углы α/2 и β/2 в зависимости от угла γ: α/2 = 90° - γ (4) β/2 = 90° - γ (5) Также известно, что касательные NY и NZ равны по длине, а значит, углы O1NY и O2NZ равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то можно записать следующую сумму: 90° + α/2 + α/2 + γ = 180° Так как α/2 равно 90° - γ (см. уравнение (4)), то получаем: 90° + 90° - γ + 90° - γ + γ = 180° 270° - γ = 180° γ = 90° Теперь, когда мы знаем значение угла γ, можем подставить его в уравнения (4) и (5): α/2 = 90° - 90° = 0° β/2 = 90° - 90° = 0° То есть, α и β равны нулю. Из уравнения (1) получаем: 0 + 0 = 3γ 3γ = 0 γ = 0 Таким образом, получается, что угол YNZ равен нулю градусов. Теперь найдем отношение длин отрезков YZ и NX. Из свойства (2) следует, что угол O1NY равен 90°, так как α/2 = 0°. Так как угол YNZ равен нулю градусов, то треугольник YNZ является прямоугольным, и значит, из свойства (3), его катеты YN и ZN равны по длине. Также известно, что касательные NX и NY равны по длине, так как они проведены из одной точки N к окружностям w1 и w2. Из этого следует, что отношение длин YZ и NX равно 1:1. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.