Задача дана следующим образом: Есть две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно. Окружности касаются в точке X. Прямая NX — общая касательная окружностей w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Нужно найти отношение длин отрезков YZ:NX. Данная задача включает в себя несколько геометрических фигур и отношений между ними. Для ее решения воспользуемся свойствами касательных и центральных углов. Посмотрим на условие задачи и вспомним свойства касательных. 1. Окружности w1 и w2 касаются в точке X. Значит, отрезок NX является общей касательной к окружностям. По свойству касательных, угол NYX равен углу YXN, а угол NZX равен углу ZXN. 2. Из точки N проведены касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Значит, углы YNZ и ZNY - это прямые углы. Также в условии задачи говорится, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Обозначим угол YO1X как a, угол ZO2X - b и угол YNZ - c. Тогда получим следующее уравнение: a + b = 3c. (1) Теперь посмотрим на треугольники YOX и ZOX. У этих треугольников острый угол при O, поэтому они подобны. Из этого следует, что отрезки YX и ZX имеют пропорциональные длины к отрезкам OY и OZ. Так как OY и OZ - радиусы окружностей w1 и w2, они равны. Значит, отрезки YZ и XN тоже имеют пропорциональные длины. Обозначим отношение длин отрезков YZ и NX как k. Тогда имеем следующее уравнение: YZ/NX = k. (2) Теперь объединим полученные знания и решим задачу. Из треугольников YOX и ZOX следует, что углы YO1X и ZO2X - это прямые углы, так как они лежат на диаметрах окружностей w1 и w2, а значит, являются центральными углами. Значит, a = 90° и b = 90°. Также по условию известно, что a + b = 3c. Подставим полученные значения: 90° + 90° = 3c, 180° = 3c, c = 180° / 3 = 60°. Теперь вернемся к уравнению (2) и найдем отношение длин отрезков YZ и NX. YZ/NX = k. Теперь заметим, что треугольники NYZ и NXZ имеют общий угол при N, а значит, они подобны. Значит, отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению длин отрезков NY и NZ: YZ/NX = NY/NZ. Теперь посмотрим на треугольник NYZ. В нем угол YNZ - это прямой угол, значит, он равен 90°. Также по условию задачи известно, что YO1X + ZO2X = 3c, и мы уже нашли, что c = 60°. Подставим полученное значение: YO1X + ZO2X = 3 * 60°, YO1X + ZO2X = 180°. Так как углы YO1X и ZO2X вместе составляют полный угол в 180°, получаем следующее: YO1X + ZO2X = 180°, YO1X = 180° - ZO2X. Вернемся к треугольнику YO1X. Угол YO1X равен 180° - ZO2X и 90° + a. Подставим значения: 180° - ZO2X = 90° + a, 90° + a = 180° - ZO2X. Теперь можно выразить угол a через ZO2X: a = 180° - ZO2X - 90°, a = 90° - ZO2X. Теперь посмотрим на треугольник ZXN. Угол ZXN равен b = 90°. Так как треугольник ZXN - прямоугольный, в нем можно применить теорему Пифагора: ZX^2 = XN^2 + NZ^2. Теперь заменим в этом уравнении синусы на отношения сторон и подставим найденные значения: tan(90° - ZO2X) = YO1 / O1X, tan(90° - ZO2X) = NY / XN. Так как ZX и XN пропорциональны YZ и NX, можно заменить в уравнении сторону ZX на YZ и сторону XN на NX: tan(90° - ZO2X) = YZ / NX. Теперь мы получили отношение длин отрезков YZ и NX, что было искомым. Запишем это отношение еще раз: YZ/NX = tan(90° - ZO2X). Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно тангенсу угла (90° - ZO2X). Ответ можно записать в виде значения тангенса.