Рассмотрим данную задачу. Имеются две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно. Окружности касаются друг друга в точке X. Прямая NX является общей касательной для этих окружностей. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Из условия задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Для решения задачи нам понадобятся некоторые геометрические свойства. 1. Свойство касательных: угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, угол YO1X и угол ZO2X между прямыми YO1 и X и ZO2 и X соответственно также равен 90 градусов. 2. Свойство треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, угол YNZ + угол YO1X + угол ZO2X = 180 градусов. Исходя из данных свойств, можно составить следующее уравнение: Угол YO1X + угол ZO2X = YNZ * 3 Угол YO1X + угол ZO2X + угол YNZ = 180 Подставим первое уравнение во второе: YNZ * 3 + YNZ = 180 4 * YNZ = 180 YNZ = 45 Получили, что угол YNZ равен 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник YNZ. Из свойства треугольника нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Углы YNZ и YZN являются касательными к окружностям w1 и w2, соответственно, а значит, они равны между собой. Таким образом: Угол YNZ = угол YZN Угол YNZ = 45 градусов Так как сумма углов треугольника YNZ равна 180 градусов, то: 45 + угол YZN + угол NYZ = 180 (угол YZN + угол NYZ) = 180 - 45 (угол YZN + угол NYZ) = 135 градусов. Поскольку угол YZN и угол NYZ являются касательными к окружностям w1 и w2 соответственно, то они равны между собой. Таким образом: угол YZN = угол NYZ 2 * угол NYZ = 135 угол NYZ = 67.5 градусов. Теперь рассмотрим треугольник NYZ и прямую NX. Из свойства треугольника, а также того факта, что угол YNZ и угол YZN равны, следует: угол NYZ + угол YZN + угол NYZ = 180 2 * угол NYZ + угол NZX = 180 2 * 67.5 + угол NZX = 180 угол NZX = 180 - 135 угол NZX = 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник NZX. В нем имеем два угла, равные 45 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то третий угол треугольника NZX равен 180 - 45 - 45 = 90 градусов. Из условия задачи нам требуется найти отношение длин отрезков YZ и NX. Для решения этой задачи рассмотрим треугольник NXZ. Из свойства прямоугольного треугольника, длина гипотенузы в два раза больше длины каждого катета. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:2. Получили, что отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:2. Таким образом, ответ на задачу: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:2.