Для начала, обозначим радиусы окружностей w1 и w2 соответственно как r1 и r2. Пусть точка N находится на прямой, соединяющей центры окружностей O1 и O2. По условию задачи, прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. Так как прямая NX касается обоих окружностей, то угол YNX является прямым углом, так как касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному из точки касания. Поэтому, угол YNX равен 90 градусам. Теперь, рассмотрим треугольники YNZ и YO1X. Из условия задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ: YO1X + ZO2X = 3 * YNZ Нам известно, что угол YO1X является внешним по отношению к треугольнику YNZ, а значит, он равен сумме противолежащих углов треугольника YNZ, то есть углу YOX и углу O1XY. Аналогично, угол ZO2X равен сумме углов ZOX и O2X. Поэтому: YO1X = YOX + O1XY ZO2X = ZOX + O2X Подставим эти равенства в первое уравнение: YOX + O1XY + ZOX + O2X = 3 * YNZ Упростим это выражение: (YOX + ZOX) + (O1XY + O2X) = 3 * YNZ Так как угол YOX и угол ZOX образуют линию (прямой угол), то их сумма равна 180 градусам. Аналогично, углы O1XY и O2X также образуют прямой угол, поэтому их сумма также равна 180 градусам. Подставим эти значения: 180 + 180 = 3 * YNZ Упростим: 360 = 3 * YNZ Теперь найдем значение угла YNZ: YNZ = 360 / 3 = 120 градусов Так как угол YNZ равен 120 градусам, то угол YXN равен половине этого значения, то есть 60 градусам. Из треугольника YXN мы можем найти угол NYX, так как его сумма с углом YXN равна 180 градусам: NYX = 180 - 60 = 120 градусов Теперь обратим свое внимание к треугольнику NYZ. Из условия задачи, угол YZ равен 90 градусам, так как это прямой угол. Из этого можно сделать вывод о том, что треугольник NYZ является прямоугольным. Также из условия задачи известно, что точка X является точкой касания прямой NY и окружности w2. Поэтому отрезок NX является высотой треугольника NYZ, опущенной из вершины N. Теперь обозначим длину отрезка YZ как x, а длину отрезка NX как h. Так как треугольник NYZ является прямоугольным, то по теореме Пифагора: NX^2 + YZ^2 = NY^2 h^2 + x^2 = NY^2 Также мы знаем, что угол NYX равен 120 градусам. Так как все углы треугольника NYZ в сумме равны 180 градусам, то угол ZNY равен 180 - 120 = 60 градусам. Поэтому, треугольник NYZ является равносторонним (все его стороны равны), и длина стороны NY равна длине стороны YZ. Теперь подставим это значение в уравнение: h^2 + x^2 = NY^2 = x^2 h^2 = 0 Так как h^2 = 0, то это означает, что длина отрезка NX равна 0. Отношение длин отрезков YZ и NX равно x/0, что является неопределенностью. Окончательный ответ: отношение длин отрезков YZ и NX неопределено.