Для начала обозначим заданные точки и углы на рисунке: - O1 - центр первой окружности w1, - O2 - центр второй окружности w2, - X - точка касания окружностей w1 и w2, - N - точка начала прямой NX, - Y - точка пересечения прямой NY с окружностью w1, - Z - точка пересечения прямой NZ с окружностью w2. Теперь рассмотрим треугольник NYX. Из геометрии известно, что угол NXY равен 90 градусов, так как прямая NX является касательной к окружности w1. Также, как прямая NY так и прямая NZ являются касательными к окружностям w1 и w2 соответственно. Это значит, что угол YNZ также равен 90 градусов. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник NXY. Теперь обратим внимание на треугольник O1XY. Заметим, что угол YO1X — это вписанный угол, то есть центр окружности w1 лежит на данном углу. Рассмотрим треугольник O1YX. Для этого треугольника известно следующее: - Углы O1YX и O1XY равны, так как это соответствующие углы при параллельных прямых NX и O1Y, - Так как треугольник O1YX — прямоугольный (угол O1YX равен 90 градусов, так как O1Y является радиусом окружности w1), то угол O1XY - это один из его острых углов. Аналогично рассмотрим треугольник O2XZ. Углы ZO2X и O2XZ равны, так как это соответствующие углы при параллельных прямых NX и O2Z. И также угол ZO2X является одним из острых углов прямоугольного треугольника O2XZ. Далее, нам дано, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ: YO1X + ZO2X = 3 * YNZ. Но угол YO1X равен углу O1XY, а угол ZO2X равен углу O2XZ. Значит, O1XY + O2XZ = 3 * YNZ. Теперь рассмотрим треугольник O1OO2. Заметим, что этот треугольник является равнобедренным, так как O1X и O2X равны, так как это радиусы окружностей w1 и w2 соответственно. Поэтому, углы O1OX и O2OX равны. Таким образом, углы O1XY и O2XZ тоже равны, так как они равны углам O1OX и O2OX соответственно. Из равенства углов O1XY и O2XZ получаем, что O1XY + O2XZ равно двойному углу O1XY и O2XZ. Угол O1XY + O2XZ = 2 * O1XY = 2 * O2XZ. Подставляем это равенство в предыдущее выражение: 2 * O1XY = 3 * YNZ. Теперь рассмотрим треугольник NXYZ. У него есть следующие углы: - Углы NXY и NXZ равны, так как это вертикальные углы, - Угол NXYZ равен сумме углов YNX и ZNX. Таким образом, NXY = NXZ, YNX + ZNX = NXYZ. Подставляем это равенство в предыдущее выражение: O1XY = 1.5 * (YNX + ZNX). Теперь рассмотрим треугольник YNZ. Заметим, что у него тоже есть сумма углов, равная 180 градусов: YNZ + YNY + ZNZ = 180. Так как углы YNY и ZNZ равны 90 градусов (они прямые), то YNZ + 90 + 90 = 180, YNZ = 0. То есть, мы получили, что угол YNZ равен 0 градусов. Теперь вернемся к равенству O1XY = 1.5 * (YNX + ZNX). Так как YNZ равен 0 градусов, то получаем, O1XY = 1.5 * (0 + ZNX), O1XY = 1.5 * ZNX. Из вышесказанного следует, что угол YNZ равен 0 градусов, а значит, угол O2XZ равен 0 градусов, так как углы YNZ и ZNX равны. Теперь рассмотрим треугольник O2XZ. Если угол O2XZ равен 0 градусов, то это означает, что прямая NZ параллельна O2X, а значит, точки Z и X находятся на одной высоте относительно O2. Подводя итог, мы пришли к выводу, что точки Y и X находятся на одной высоте относительно O1, а точки Z и X находятся на одной высоте относительно O2. Теперь, чтобы найти отношение длин отрезков YZ и NX, обратимся к треугольнику NYX. У него два подобных треугольника: NYZ и NXY. Из теории пропорций в подобных треугольниках, если отношение длин соответствующих сторон двух треугольников равно, то и отношение длин полупериметров этих треугольников тоже равно. Так как прямая NX является общей касательной окружностей w1 и w2, то ее длина равна сумме радиусов этих окружностей: NX = O1X + O2X. Из этого следует, что отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению полупериметров треугольников NYZ и NXY: YZ / NX = (NY + NZ) / (NX + XY). Теперь рассмотрим треугольники NYZ и NXY. У них есть следующие свойства: - Н/2 = r1 + r2, где N - длина общей касательной NX, H - длина высоты, опущенной из N на сторону YZ, r1 и r2 - радиусы окружностей w1 и w2 соответственно, - H = XY + YZ, - r1 = O1X, - r2 = O2X. Теперь подставим это в выражение для отношения YZ и NX: YZ / NX = ((NY + NZ) / (O1X + O2X + XY + YZ)). Так как точки Y и X находятся на одной высоте относительно O1, а точки Z и X находятся на одной высоте относительно O2, то XY равно O1X и YZ равно O2X: YZ / NX = ((NY + NZ) / (O1X + O2X + O1X + O2X)). Но O1X и O2X равны, так как это радиусы окружностей w1 и w2: YZ / NX = ((NY + NZ) / (2 * O1X + 2 * O2X)). Теперь заметим, что в треугольнике O1OO2 угол O1OX равен углу O2OX. Поэтому, треугольник O1OX и O2OX равнобедренный, а значит, O1X = O2X. Подставляем это в предыдущее равенство: YZ / NX = ((NY + NZ) / (4 * O1X)). Остается только заметить, что NY + NZ - это длина прямой NY, а это радиус окружности w1: YZ / NX = (r1 / (4 * O1X)). Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно r1 / (4 * O1X). В заключении, ответ на задачу: отношение длин отрезков YZ и NX равно r1 / (4 * O1X).