Пусть радиус окружности w1 равен r1, а радиус окружности w2 равен r2. Также пусть NQ – высота треугольника XO1N, MQ – высота треугольника XO2M. Поскольку окружности касаются в точке X, то сегменты YX и ZX одинаковой длины и равны r1 + r2. Найдем угол YNZ. Построим прямые O1N и O2M. [](https://skr.sh/s50Y0xtmf1P?a) В треугольнике O1NX угол O1NX – прямой, а угол O1XN равен 90°, так как ZN — касательная к окружности w1. Следовательно, YNO1 – прямая и грань YNZ – прямоугольный угол. Найдем меру угла YNO1: YO1X = 180 – мера угла XNO1 (угол XO1N является прямым) ZO2X = 180 – мера угла XMO2 (угол XO2M является прямым) Следовательно, мера угла YNO1 = 360 – (180 – мера угла XNO1) – (180 – мера угла XMO2) = мера угла XNO1 + мера угла XMO2. Поскольку сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ, то мера угла YNZ = (180 – мера угла YO1X – мера угла ZO2X) / 2 = (180 – мера угла XNO1 – мера угла XMO2) / 2. Таким образом, угол YNO1X равен мере угла XNO1 + мере угла XMO2 – (180 – мера угла XNO1 – мера угла XMO2) / 2 = мере угла XNO1 + мере угла XMO2 + мера угла XNO1 + мера угла XMO2 / 2 = 3мере угла XNO1 / 2 + 3мере угла XMO2 / 2 = 3(мере угла XNO1 + мера угла XMO2) / 2 = 3мере угла YNZ. Таким образом, 3мера угла YNZ = мера угла YNO1X = 3мере угла YNZ. Отсюда следует, что мера угла YNZ равна 60°. Пусть AY и BZ – касательные к окружности w1, AT и BT – касательные к окружности w2. Так как XY и XZ – прямые углы, то AY и AT – ортогональные. Аналогично, BZ и BT – ортогональные. [](https://skr.sh/s50YSmeoHXM?r) Пусть точка K – точка пересечения линий AY и BZ. Так как NY и NZ – прямые, то AK и BK – ортогональные. Пусть E и F – середины отрезков OK и NQ соответственно. [](https://skr.sh/s50YId7eWPO?r) Треугольник O1XO2 – равнобедренный, так как O1X = O2X (они равны радиусам окружностей w1 и w2, соответственно), O1O2 = O1X + O2X = 2O1X = 2 O2X. Треугольник OnEX прямоугольный, так как NX – общая касательная к окружностям. Значит, медиана OE является высотой треугольника OnEX. То же самое относится и к точке F. Треугольники AZK и XKE равны, поскольку у них равны AY и AK, которые представляют собой радиусы касаемых окружностей, а KZ = KE, так как их являются ортогональными. Аналогично, треугольники BKT и XKF равны. Заметим, что высота NQ делит треугольник XO1N на равные треугольники XO1K и O1NK. Значит, высота NQ делит сторону XO1 пополам. Аналогично, MQ делит сторону XO2 пополам. Значит, медиана OE равна 1/2 XO1, а медиана OF равна 1/2 XO2. Треугольники XKE и XKF равны, так как у них равны EF (так как F и E – середины соответствующих медиан), KE = KF (так как они ортогональны) и XF – общая сторона. Следовательно, XE = XF (они являются медианами). Из этого следует, что треугольники XKE и XKF равны. Пусть EV и FV – высоты треугольников XKE и XKF соответственно. [](https://skr.sh/s50YJPEuEC2a?r) Треугольники XKE и XVE равны, так как у них равны EV – высота треугольника XKE, KE – общая сторона и XV – общая сторона (медиана). Аналогично, треугольники XKF и XVF равны. Заметим, что линии CQ и AN являются параллельными (обе перпендикулярны линии AO1 и проходят через точку X). Аналогично, линии CM и BM параллельны. Треугольник AAN – подобен треугольнику NCQ (у них две пары параллельных прямых), поэтому AQ / QC = AN / NC. Аналогично, треугольник BMB – подобен треугольнику MCB, поэтому BM / MC = BM / MB. Отсюда следует, что AQ / QC = BM / MB. По теореме Фалеса DN / NC = BM / MB, поскольку AD и BC параллельны. Значит, DN / QC = DN / NC. Заметим, что QN и NC – части Ох2, NQ и DN – части OH1. Треугольники O1XO2 и XQCN подобны. O1A / XQ = O2C / XC (они параллельны). Радиусы w1 и w2 соответственно равны O1A и O2C. Значит, AQ / QC = O2C / O1A. Таким образом, AQ / QC = BM / MB = DN / NC = O2C / O1A. Отсюда следует, что O2C / O1A = DN / NC. То же самое можно показать для треугольников MBN и NAC. Отсюда следует, что O1B / O2B = NC / NB = AD / BD = DQ / DQ. Таким образом, O1B / O2B = DN / ND. Значит, треугольники O1B и O2B равны. Это означает, что OB является высотой в треугольнике OBO1. [](https://skr.sh/s50YLnBnCraa?r) Заметим, что NX и NZ – прямые, тогда YXQZ – прямоугольник. Круги с центрами O1 и O2 соприкасаются, поэтому O1O2 = R1 + R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей. Также из треугольника O1XO2 известно, что O1O2 = 2O1X = 2O2X, значит O1X = O2X = O1O2 / 2 = R1 + R2 / 2. Также NQ и MQ – медианы в треугольниках O1XO2 и O1YX и O2ZX соответственно. Значит, NQ = XO1 / 3 и MQ = XO2 / 3. Треугольники O1NQ и QXO1 подобны, так как у них есть три равные стороны (они перпендикулярны). Аналогично, треугольники O2MQ и QXO2 подобны. Значит, MQ / QO2 = XO2 / O2X и NQ / QO1 = XO1 / O1X. Но O1X = O2X. Отсюда следует, что MQ / QO2 = XO2 / R1 + R2 / 2 и NQ / QO1 = XO1 / R1 + R2 / 2. Значит, MQ / NQ = QO2 / QO1 = MQ / NQ, то есть MQ = NQ. То же самое можно показать для треугольников MQO2 и NQO1, а именно, что XO1 = XO2. Таким образом, NQ = MQ, XO1 = XO2. Значит, YX = XZ. Рассмотрим треугольник PQN. [](https://skr.sh/s50YMKMkOMG?r) PQ – основание треугольника, EO – высота. Заметим, что XO1 / PO1 = XO2 / PO2 = XO1 + XO2 / PO1 + PO2, что равносильно тому, что EP / PO1 = FP / PO2. То есть треугольники EPQ и FOP подобны. Значит, QE / FP = PQ / FO. Однако QE = FP и PQ = FO, так как XO1 = XO2 и YX = XZ. Значит, QE = FP и PQ = FO. Рассмотрим треугольники YQO1 и ZQO2. [](https://skr.sh/s50YLu2D0SB?r) YQ и ZQ – медианы, значит, YQ = ZQ. Рассмотрим трегольники YPQ и ZFP. Они подобны, так как QE / FP = PQ / FO. Значит, YP / ZF = PQ / FP = FO / QE = ZF / YP. То есть YP^2 ровно YP * ZF. Аналогично, ZP^2 ровно ZP * YF. Применим теорему Пифагора в треугольниках YPQ и ZFP: YP^2 = YQ^2 + PQ^2 и ZP^2 = ZQ^2 + PQ^2. Так как YQ = ZQ и YP^2 = YP * ZF и ZP^2 = ZP * YF, то YP * ZF = ZP * YF. Отсюда следует, что YP / YF = ZP / ZF. Таким образом, треугольники YPF и ZPF подобны.