Обозначим через $R_1$ и $R_2$ радиусы окружностей $w_1$ и $w_2$ соответственно. И через $d$ расстояние между центрами окружностей. Из условия задачи следует, что $NX$ — средняя линия треугольника $NYZ$. [asy] size(220); pzmpair A=(0,0),B=(10,0),C=(15,0),D=(7.5,-2.5),E=(13,3.5); draw(D--E,Arrow(size=5)); draw(A--B); draw(B--C); draw(C--A); draw(C--D,dashed); draw(C--E,dashed); draw(circumcircle(C,D,E)); draw(circle(A,5)); label('$omega_1$',A,(-1.5,-1.5)); draw(circle(C,5)); label('$omega_2$',C,(1.5,-1.5)); pair[] ps = {A,B,C,D,E}; dot(ps); dot((D+E)/2); label("$N$",D+E/2,(0,-1.5)); label("$O_1$",A,(0,1.5)); label("$O_2$",C,(0,1.5)); label("$X$",D+E/2,(-1.5,1.5)); label("$Y$",B,(-1.5,1.5)); label("$Z$",B,(1.5,1.5)); [/asy] Так как $NY$ и $NZ$ касаются окружностей $w_1$ и $w_2$ соответственно, то $NY perp AO_1$ и $NZ perp BO_2$. А также все касательные окружности $w_1$ и $w_2$ в точке касания образуют один и тот же угол с прямой $O_1O_2$. Поэтому углы $angle YO_1X$ и $angle ZO_2X$ равны. Так как треугольник $NYZ$ прямоугольный и $NX$ является медианой, то он является высотой, биссектрисой и медианой одновременно. Поэтому $angle YNZ = angle ONX = angle YO_1X$. Обозначим через $alpha = angle YO_1X$ угол между касательной и радиусом, и через $beta = angle ONX$ угол между диагональю трапеции и радиусом. Так как угол $angle YO_1X$ — общий в треугольниках $YO_1X$ и $NYZ$, и $angle YNZ = angle ONX = angle YO_1X$, то эти треугольники подобны. Далее, так как $angle YO_1N = angle ZO_2X$ (они оба равны углу $alpha$), и $angle ONY = angle ONX = beta$, то треугольник $ONY$ подобен треугольнику $OZX$. Значит, отношение длин отрезков $ZY$ и $YN$ равно отношению длин отрезков $OX$ и $ON$. Так как $angle YO_1X = beta = angle ONX$, то треугольники $ONO_1$ и $OXO_1$ подобны. Значит, отношение длин отрезков $OX$ и $ON$ равно отношению длин отрезков $O_1X$ и $O_1N$. Так как $angle YO_1O = angle O_1OX = angle ONO_1$, то треугольники $OYO_1$ и $ONO_1$ подобны. Значит, отношение длин отрезков $O_1X$ и $O_1N$ равно отношению длин отрезков $YO_1$ и $YO$. Рассмотрим теперь отрезки $YO_1$ и $YO$. Так как эти отрезки — радиусы окружностей, впишемых в треугольники $YO_1X$ и $NYZ$ соответственно, то эти треугольники подобны. Значит, отношение длин отрезков $YO_1$ и $YO$ равно отношению длин отрезков $O_1X$ и $NX$. Итак, мы получили, что отношение длин отрезков $YZ$ и $NX$ равно отношению длин отрезков $YO_1$ и $YO$. Осталось найти это отношение. Конструируем прямую $ON$. [asy] size(220); pzmpair A=(0,0),B=(10,0),C=(15,0),D=(7.5,-2.5),E=(13,3.5),F=(0,-4.03),G=(15,-2.55); draw(F--G); draw(A--B); draw(B--C); draw(C--A); draw(C--D,dashed); draw(C--E,dashed); draw(circumcircle(C,D,E)); draw(circle(A,5)); label('$omega_1$',A,(-1.5,-1.5)); draw(circle(C,5)); label('$omega_2$',C,(1.5,-1.5)); pair[] ps = {A,B,C,D,E,F,G}; dot(ps); dot((D+E)/2); dot((F+G)/2); label("$N$",D+E/2,(0,-1.5)); label("$O_1$",A,(0,1.5)); label("$O_2$",C,(0,1.5)); label("$X$",D+E/2,(-1.5,1.5)); label("$Y$",B,(-1.5,1.5)); label("$Z$",B,(1.5,1.5)); label("$O$",F,(-2.5,-1.5));; [/asy] Построим окружности $omega_1$ и $omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$, соответственно, и радиусами $R_1$ и $R_2$. Обозначим через $O$ точку пересечения прямых $NO_1$ и $O_1O_2$. Рассмотрим треугольники $XO_1O$ и $XO_1O_2$. У них $angle XO_1O = angle XO_1O_2$, и они оба равны углу $beta$. Также у них $angle OXO_1 = angle OO_1O_2$, или что то же самое $angle YOX = angle OO_1O_2$. Значит, треугольники $XO_1O$ и $XO_1O_2$ подобны. Из подобия треугольников $XO_1O$ и $XO_1O_2$ имеем отношение длин отрезков $O_1O$ и $O_1X$ равным отношению длин отрезков $O_1O_2$ и $O_1X$. Обозначим это отношение через $k = frac{O_1O}{O_1X} = frac{O_1O_2}{O_1X}$. Из равенства треугольников $XO_1O$ и $XO_1O_2$ также имеем, что соответствующие стороны соответствующих треугольников пропорциональны: $frac{XX}{O_1O} = frac{O_1X}{O_1O_2}$. С другой стороны стороны первого треугольника равны $R_1$, $R_1+R_2$ и $R_1+R_2+d$, а сторона второго треугольника равна $d$. Отсюда $frac{R_1}{O_1O} = frac{O_1X}{O_1X+O_1X} = frac{d}{2 cdot O_1X}$. Далее, из подобия треугольников $O_1XO$, $NO_1X$ и $O_1XO_2$ имеем, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны: $$frac{O_1X}{R_1} = frac{NO_1}{R_2} = frac{O_1X+R_1}{R_1+R_2}.$$ Обозначим через $l = frac{NO_1}{R_2} = frac{O_1X}{R_1} = frac{O_1X}{O_1X+R_1}$. Получаем систему уравнений: $$begin{cases} k = frac{O_1O}{O_1X} = frac{O_1O_2}{O_1X}, \ k+1 = frac{XX}{O_1O}, \ k = frac{d}{2 cdot O_1X}, \ l = frac{O_1X}{R_1} = frac{NO_1}{R_2} = frac{O_1X}{O_1X+R_1} . end{cases}$$ Найдем $k$ и $l$ из этих равенств. Из первого равенства получим, что $O_1O = frac{k}{k+1} cdot O_1X$. Подставим это значение во второе равенство и найдем, что $XX = frac{(k+1)^2}{k} cdot O_1X$. Также из второго равенства найдем, что $O_1O = frac{k+1}{k} cdot XX$. Мы выразили отрезки $XX$ и $O_1O$ через $O_1X$. Подставим их в третье равенство и найдем значение $O_1X$: $frac{k}{k+1} cdot XX = frac{d}{2}$, то есть $O_1X = frac{2 cdot d}{k cdot (k+1)}$. Из последнего равенства найдем значение $l$: $l = frac{frac{2 cdot d}{k cdot (k+1)}}{R_1} = frac{2 cdot d}{k cdot (k+1) cdot R_1}$. В условии дано, что $angle YO_1X + angle ZO_2X = 5 cdot angle OYN$, или что то же самое $alpha + alpha = 5 cdot beta$ или $2 alpha = 5 beta$. Найдем $alpha$ через $beta$: $2 alpha = 5 beta$, отсюда $alpha = frac{5}{2} beta$. Так как треугольники $YO_1X$ и $NYZ$ подобны, найдем $alpha$ через $R_1$, $R_2$ и $d$. Так как $alpha = angle ONZ = angle NEO_2$, то тангенс угла $alpha$ равен $frac{2 cdot R_2}{d}$. Тогда $frac{sin alpha}{cos alpha} = frac{2 cdot R_2}{d}$, то есть $frac{tan alpha}{1} = frac{2 cdot R_2}{d}$. Из подсчета тангенса как отношения противоположной и прилежащей к этому углу сторон найдем $tan alpha = frac{OX}{O_1X} = frac{frac{k}{k+1} cdot XX}{O_1X} = frac{k}{k+1} cdot frac{O_1X}{O_1X} = frac{k}{k+1}$. Теперь найдем безымянную дробь из предыдущего пункта через $alpha$: $frac{l}{k} = frac{2 cdot d}{k cdot (k+1) cdot R_1}$. Итак, $tan alpha = frac{k}{k+1}$ и $frac{l