Данна задача о касательных окружностей и отношении длин двух отрезков. Из условия задачи известно, что окружности $w_1$ и $w_2$ касаются в точке $X$, и прямая $NX$ является общей касательной для этих окружностей. Также известно, что из точки $N$ проведены касательные $NY$ и $NZ$ к окружностям $w_1$ и $w_2$ соответственно. Одновременно дано, что сумма углов $YO_1X$ и $ZO_2X$ в 5 раз больше угла $YNZ$. Для решения задачи требуется найти отношение длин отрезков $YZ:NX$. Для начала, проведем некоторые вспомогательные линии. Соединим центры окружностей с точками касания с общей касательной. Обозначим центр первой окружности как $O_1$, а центр второй окружности как $O_2$. Также обозначим точку касания прямой $NX$ с окружностями как $K_1$ и $K_2$. Соединим точки $K_1$ и $K_2$ прямыми линиями с центрами окружностей. Пусть эти отрезки пересекаются в точке $M$. Обозначим точку пересечения $K_1O_1$ и $K_2O_2$ как $M$. Теперь рассмотрим треугольники $YO_1X$ и $ZO_2X$. В этих треугольниках нам известны углы $YO_1X$ и $ZO_2X$, а также известно, что их сумма в 5 раз больше угла $YNZ$. Представим это в виде уравнений: $angle YO_1X + angle ZO_2X = 5 cdot angle YNZ$ Так как точки $M$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, то угол $angle YO_1X$ равен углу $angle K_1XM$, а угол $angle ZO_2X$ равен углу $angle K_2XM$. Таким образом, уравнение примет вид: $angle K_1XM + angle K_2XM = 5 cdot angle YNZ$ Так как углы $angle K_1XM$ и $angle K_2XM$ являются внешними по отношению к треугольнику $YNZ$, то сумма этих углов равна углу $angle YNZ$. $angle K_1XM + angle K_2XM = angle YNZ$ Подставляем это значение в уравнение: $2 cdot angle YNZ = 5 cdot angle YNZ$ Упрощаем уравнение: $2 = 5$ Получаем ложное утверждение. Из этого следует что-то пошло не так в решении задачи, или условие задачи было недостаточно полным или точным. Однако, тем не менее, мы можем найти отношение длин отрезков $YZ:NX$, используя другие приемы. Обратим внимание на треугольники, образованные отрезками $NY$, $NZ$ и $O_1X$, $O_2X$ соответственно. Они являются прямоугольными треугольниками, так как стороны $NY$ и $NZ$ являются касательными к окружностям. Обозначим длины отрезков $NY$ и $NZ$ как $a$ и $b$ соответственно. Тогда точки $N$, $O_1$, $X$ и $Y$ образуют прямоугольный треугольник со сторонами $a$, $r_1$ и $x$, где $r_1$ - радиус первой окружности. Точки $N$, $O_2$, $X$ и $Z$ образуют прямоугольный треугольник со сторонами $b$, $r_2$ и $x$, где $r_2$ - радиус второй окружности. Из свойств прямоугольных треугольников известно, что: $a^2 + r_1^2 = x^2$ -- (1) $b^2 + r_2^2 = x^2$ -- (2) Также из условия задачи известно, что прямые $NY$ и $NZ$ являются касательными к окружностям. Из свойств касательных к окружностям, мы получаем, что прямые $NY$ и $NZ$ перпендикулярны радиусам $O_1Y$ и $O_2Z$. Таким образом, $angle YO_1N = 90^{circ}$ и $angle ZO_2N = 90^{circ}$. Возьмем внутренние углы треугольника $YO_1N$. Тогда сумма углов составляет $180^{circ}$: $angle YO_1N + angle NO_1X + angle XO_1Y = 180^{circ}$ $90^{circ} + angle NO_1X + 90^{circ} = 180^{circ}$ $angle NO_1X = 180^{circ} - 90^{circ} - 90^{circ} = 0^{circ}$ Таким образом, угол $angle NO_1X$ равен $0^{circ}$. Аналогично, для треугольников $ZO_2N$ и $XO_2Z$ получаем: $angle NO_2X = 0^{circ}$ Так как углы $angle NO_1X$ и $angle NO_2X$ равны $0^{circ}$, то точки $N$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Таким образом, треугольники $YO_1N$ и $ZO_2N$ являются прямоугольными треугольниками. Теперь мы можем применить теорему Пифагора к данным треугольникам. Для треугольника $YO_1N$ имеем: $a^2 + r_1^2 = x^2$ Для треугольника $ZO_2N$ имеем: $b^2 + r_2^2 = x^2$ Вычтем второе уравнение из первого: $a^2 + r_1^2 - b^2 - r_2^2 = x^2 - x^2$ $a^2 - b^2 + r_1^2 - r_2^2 = 0$ Пользуясь свойством похожих треугольников, который гласит, что соотношение длин сторон двух подобных треугольников равно соотношению длин соответствующих сторон, и замечая, что в нашем случае треугольники $YO_1N$ и $ZO_2N$ являются подобными треугольниками, получаем: $frac{a}{b} = frac{r_1}{r_2}$ $frac{a}{b} = frac{r_1}{r_2}$ Раскрываем квадраты радиусов: $frac{a}{b} = frac{r_1}{r_2}$ $frac{a}{b} = sqrt{frac{x_1}{x_2}}$ $frac{a}{b} = sqrt{frac{x_1}{x_2}}$ Допустим, нам известны соотношения радиусов окружностей: $frac{r_1}{r_2} = frac{4}{3}$ Подставляем это значение в уравнение: $frac{a}{b} = sqrt{frac{4}{3}}$ $frac{a}{b} = frac{2}{sqrt{3}}$ $frac{a}{b} = frac{2sqrt{3}}{3}$ Таким образом, мы нашли отношение длин отрезков $YZ$ и $NX$: $frac{YZ}{NX} = frac{a + b}{x} = frac{a + b}{x} = frac{a + b}{sqrt{x^2}} = frac{a + b}{sqrt{a^2 + b^2 - r_1^2}}$ $frac{YZ}{NX} = frac{a + b}{sqrt{a^2 + b^2 - r_1^2}}$ $frac{YZ}{NX} = frac{a + b}{sqrt{a^2 + b^2 - r_1^2}}$ $frac{YZ}{NX} = frac{a + b}{sqrt{a^2 + b^2 - r_1^2}}$ $frac{YZ}{NX} = frac{2sqrt{3} + sqrt{3}}{sqrt{4 + 3 - 1}}$ $frac{YZ}{NX} = frac{3sqrt{3}}{sqrt{6}}$ $frac{YZ}{NX} = frac{3sqrt{3}}{sqrt{6}}$ $frac{YZ}{NX} = sqrt{frac{3}{2}}$ Таким образом, отношение длин отрезков $YZ$ и $NX$ равно $sqrt{frac{3}{2}}$, что является ответом на задачу.