Дана окружность w1 с центром О1 и окружность w2 с центром О2, касающиеся в точке X. Прямая NX является общей касательной для обеих окружностей. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ. Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных, перпендикулярных и секущих прямых к окружностям. Поскольку NX является общей касательной для обеих окружностей, то из свойств касательных к окружности следует, что угол XON равен 90 градусов. Таким образом, треугольник XON является прямоугольным. Из условия задачи также следует, что углы YO1X и ZO2X вместе равны углу YNZ. Это свидетельствует о том, что треугольники YNX и ZNX подобны (по теореме об углах между пересекающимися прямыми и прямыми, пересекающими их окружностями). Найдем отношение длин отрезков YZ и NX. Для этого рассмотрим соответствующие пары сторон в пропорции треугольников YNX и ZNX. Из подобия этих треугольников получаем: YZ / NY = NX / NZ Далее, заметим, что отрезок NY является касательной и перпендикулярен радиусу O1Y1. Аналогично, отрезок NZ является касательной и перпендикулярен радиусу O2Z2. Из этого следует, что треугольники O1Y1N и O2Z2N прямоугольные. Из прямоугольности треугольника O1Y1N следует, что sin(YO1N) = O1Y1 / NY. Аналогично, из прямоугольности треугольника O2Z2N следует, что sin(ZO2N) = O2Z2 / NZ. Так как O1Y1 и O2Z2 равны, получаем, что sin(YO1N) = sin(ZO2N). Из этого равенства синусов и факта, что NY и NZ являются сторонами прямоугольных треугольников, следует, что NY / NZ = sin(ZO2N) / sin(YO1N). Таким образом, получаем, что YZ / NX = NY / NZ = sin(ZO2N) / sin(YO1N). Но мы знаем, что YO1X + ZO2Y = YNZ. Выразим в этом равенстве углы YO1X и ZO2X через их синусы: sin(YO1X) = O1X / O1Y1 и sin(ZO2X) = O2X / O2Z2. Из собственности радиусов окружностей и треугольников получаем, что O1X = O1Y1 и O2X = O2Z2. Тогда sin(YO1X) = O1X / O1Y1 = O1Y1 / O1Y1 = 1 и sin(ZO2X) = O2X / O2Z2 = O2Z2 / O2Z2 = 1. Подставляя эти значения в уравнение sin(YO1X) + sin(ZO2X) = sin(ZO2N) + sin(YO1N), получаем, что 1 + 1 = sin(ZO2N) + sin(YO1N). Отсюда следует, что 2 = sin(ZO2N) + sin(YO1N). Таким образом, YZ / NX = sin(ZO2N) / sin(YO1N) = (2 - 2) / 2 = 0. Итак, отношение длин отрезков YZ и NX равно 0.