Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами касательных и касательных углов. Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 как r1 и r2 соответственно. Из условия задачи мы знаем, что прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. По свойству касательной, угол NO1X между прямой NX и радиусом О1Х равен 90 градусов. Аналогично, угол NO2X между прямой NX и радиусом О2Х также равен 90 градусов. Так как окружности касаются в точке Х, то отрезок XH является общим для обеих окружностей. Так как прямая NH является высотой треугольника NO1X, а прямая MH — высотой треугольника MO2X, мы можем использовать равенство треугольников NO1X и MO2X, чтобы выразить длину отрезка XH. Таким образом, длина отрезка XH равна r1 + r2. Рассмотрим треугольник YNZ. По свойству касательных углов, угол YNZ между касательной NY и радиусом НZ равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник YO1X. Угол YO1X между касательной NY и радиусом О1Х является вписанным углом, так как касательная и радиус пересекаются в точке Х. Следовательно, угол YO1X также равен 90 градусов. По условию задачи, сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Значит, угол YO1X + ZO2X = 3 * YNZ. Так как угол YO1X = 90 градусов и угол ZO2X = 90 градусов, мы можем записать: 90 + 90 = 3 * YNZ. Упростим уравнение: 180 = 3 * YNZ. Разделим обе части уравнения на 3: 60 = YNZ. То есть, угол YNZ равен 60 градусов. Теперь рассмотрим треугольник YHX. Угол YHX между стороной YX и хордой XH равен углу YO1X, так как это вписанный угол, опирающийся на ту же часть окружности. Угол YHX равен 90 градусам. Так как угол YO1X равен 90 градусов и угол YNX равен 60 градусов, мы можем записать: 90 - YNX = 90 - 60 = 30 градусов. Теперь рассмотрим треугольник MYZ. Угол MYZ между стороной YZ и хордой XH также равен углу ZO2X, так как это вписанный угол, опирающийся на ту же часть окружности. Угол MYZ равен 90 градусам. Так как угол ZO2X равен 90 градусов и угол YNZ равен 60 градусов, мы можем записать: 90 - YNZ = 90 - 60 = 30 градусов. Из рассуждений следует, что углы YHX и MYZ равны 30 градусам. Рассмотрим треугольники YXN и XNH. Углы YNX и XNH образуют пару вертикальных углов и, следовательно, равны друг другу. Так как YNX = 60 градусов, то и XNH = 60 градусов. Осталось найти отношение длин отрезков YZ и NX. Для этого рассмотрим следующие отрезки: - Отрезки YN и NZ являются радиусами окружностей w1 и w2, соответственно. Радиусы окружностей имеют одинаковую длину, так как они касаются друг друга в точке Х. Значит, YN и NZ имеют одинаковую длину. - Отрезок NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. По свойству касательной, отрезок NX равен разности радиусов окружностей w2 и w1. Значит, длина отрезка NX равна r2 - r1. Итак, отношение длин отрезков YZ и NX можно записать как: YZ / NX = (YN + NZ) / NX = (YN + YN) / (r2 - r1) = 2YN / (r2 - r1). Так как YN имеет длину радиуса w1, то можно записать: 2YN / (r2 - r1) = 2r1 / (r2 - r1). Теперь найдем отношение длин отрезков YZ и NX в явном виде. Для этого подставим известные значения радиусов w1 и w2: 2r1 / (r2 - r1) = 2 * r1 / (r2 - r1). Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 2 * r1 / (r2 - r1).