Дана параллелограмм ABCD, в котором на диагонали AC построен квадрат BECK. По условию, точка E лежит на стороне AD и AE = EB. Нам нужно найти угол ECD. Для начала, обратимся к свойствам параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, AB = CD и AB || CD. Обратимся к свойствам квадрата. В квадрате все стороны равны между собой и все углы прямые. Из условия задачи известно, что AE = EB. Значит, сторона AB квадрата равна стороне BE. Обозначим эту сторону как a. Тогда длина диагонали BC квадрата равна a√2, так как в квадрате диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника, а стороны этих треугольников равны a по гипотенузе и a по одному из катетов. Теперь обратимся к треугольнику ABC. Из свойств параллелограмма следует, что AD || BC. Значит, треугольник ABC и треугольник DEC подобны. Ведь у них одна пара углов соответственно равны (параллельные прямые образуют равные углы при пересечении с другой параллельной прямой). Так как треугольник ABC и треугольник DEC подобны, то и отношение сторон в этих треугольниках равно. То есть, можно записать: AB / CD = BC / EC. Известно, что AB = CD. Также, мы выразили ранее, что сторона AB квадрата равна a. Значит, AB = CD = a. Подставим эти значения в уравнение: a / a = BC / EC. Теперь, анализируя диагональ квадрата BECK, у нас есть BDE и DEC. Это равнобедренные треугольники, так как BD = DE по условию, и угол DBE равен углу DEC (это свойство равнобедренного треугольника). Так как треугольник BDE равнобедренный, у нас есть равенство углов: ∠DBE = ∠BED. Так как в параллелограмме противолежащие углы равны, у нас также будет: ∠DBE = ∠ACB. Таким образом, мы нашли равенство углов ∠ACB и ∠BED. Вернемся к уравнению: a / a = BC / EC. Мы можем заменить BC на a√2, так как ранее было показано, что длина диагонали квадрата равна a√2. Получим: 1 = a√2 / EC. Теперь найдем EC, перенеся a√2 в правую часть уравнения: EC = a√2. Найденное значение EC равно стороне квадрата BECK, а мы знаем, что AE = EB. Значит, мы можем записать: AC = AE + EC. Подставим значения: AC = AE + a√2. Мы уже знаем, что AB = CD = a. Подставим значение CD в уравнение: CD = CB + BD. Теперь выразим BD через BE: BE = BD + DE. BD = BE - DE. BD = a - BE. Подставим значения: CD = CB + (a - BE). Ранее было показано, что AB || CD. Значит, ∠ABC и ∠BCD являются соответственными углами при параллельных прямых. Для соответственных углов выполняется равенство ∠ABC = ∠BCD, поэтому мы можем записать: AB / BC = BC / CD. Подставим значения: a / BC = BC / (CB + (a - BE)). Переставим местами числитель и знаменатель: BC^2 = a * (CB + (a - BE)). Simplify: BC^2 = a * (CB + a - BE). BC^2 = a * (CB + a - a). BC^2 = a * CB. Таким образом, мы получили равенство: BC^2 = a * CB. В параллелограмме параллельные стороны равны, поэтому AB = CD и BC = DA. Обозначим эти значения как b: AB = CD = a = b. Теперь можно записать равенство: b^2 = a * b. Сократим b на обеих сторонах: b = a. То есть, сторона квадрата BECK равна стороне параллелограмма ABCD. Теперь мы можем записать: EC = a√2 = b√2. Обратимся к нашему ранее найденному равенству AC = AE + EC: AC = AE + b√2. Натуральные числа AE и EB соответствуют сторонам параллелограмма ABCD. Мы уже знаем, что AB = CD = a = b. Таким образом, AE + EB = AB + CD = 2a = 2b. Запишем данное нам равенство: AC = 2a + b√2. То есть, мы нашли значение стороны AC параллелограмма ABCD. Теперь вернемся к углу ECD. Мы знаем, что ∠ACB = ∠BED. Поскольку ∠ACB и ∠BED являются соответственными углами при параллельных прямых, выполняется равенство: ∠ACB = ∠BED. А мы уже выяснили, что ∠ACB = ∠BCD. Таким образом, мы получаем равенство: ∠BCD = ∠BED. То есть, угол ECD равен ∠BED. Следовательно, чтобы найти угол ECD, нам нужно найти значение ∠BED. Вспомним, что мы выразили ранее: ∠BED = ∠DBE. Треугольник BDE равнобедренный, так как у него BD = DE, и ∠DBE = ∠BED. Мы уже знаем, что AB = CD = a = b. Значит, сторона квадрата равна стороне параллелограмма. Таким образом, треугольник BDE является равнобедренным, и мы можем записать: ∠DBE = ∠BDE. Теперь обратимся к углу DEB. Треугольник BED - прямоугольный, так как ∠BED равен 90° (в квадрате все углы прямые). Также, в параллелограмме две стороны параллельны, поэтому ∠BED и ∠EDC также являются соответственными углами. Следовательно, у нас выполняется следующее равенство: ∠BDE = ∠EDC. Обозначим угол EDC как α. Теперь мы можем записать: ∠DBE = ∠BDE = α. ∠EDC = ∠BED = α. Итак, мы получили следующее: ∠DBE = ∠BDE = ∠EDC = α. Теперь обратимся к треугольнику ECD. У него есть угол α, и мы знаем, что ∠ECD = 180° - 2α (сумма углов треугольника равна 180°). Таким образом, мы нашли формулу для нахождения угла ECD: ∠ECD = 180° - 2α. Теперь вернемся к равенству ∠BCD = ∠BED. Подставим найденные значения: ∠BCD = α. ∠BED = α. Теперь мы можем записать равенство: α = α. Таким образом, мы убедились, что ∠BCD = ∠BED = α. Итак, мы нашли, что угол ECD равен 180° - 2α и ∠BCD = ∠BED = α. Теперь остается только найти значение угла α. Для этого обратимся к равенствам, которые мы вывели ранее: ∠DBE = ∠BDE = α. ∠EDC = ∠BED = α. Треугольник BDE равнобедренный, поэтому ∠DBE равен углу DBE. Таким образом, у нас есть два угла, равных α, и третий угол ∠EBC (значение которого нам известно, так как это угол прямоугольного треугольника). Сумма углов треугольника равна 180°, значит, мы можем записать: 2α + ∠EBC = 180°. Теперь выразим угол α: 2α = 180° - ∠EBC. α = (180° - ∠EBC) / 2. Таким образом, мы нашли значение угла α. Итак, мы рассмотрели данную задачу подробно и нашли формулу для нахождения угла ECD: ∠ECD = 180° - 2α. Значение угла α можно найти, используя формулу α = (180° - ∠EBC) / 2.