Для нахождения длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, используется формула: L = ∫a^b √(x'(t)^2 + y'(t)^2) dt, где a и b - начальное и конечное значение параметра t, x'(t) и y'(t) - производные функций x(t) и y(t) соответственно. Производные функций x(t) и y(t) имеют вид: x'(t) = -3sint(1-cos(t)), y'(t) = 3cos(t)(1-cos(t)). Подставим эти значения в формулу для длины дуги и проинтегрируем по переменной t от 0 до π: L = ∫0^π √((-3sint(1-cos(t)))^2 + (3cos(t)(1-cos(t)))^2) dt. L = ∫0^π √(9sint^2(1-cos(t))^2 + 9cos^2(t)(1-cos(t))^2) dt. L = 3∫0^π √(sint^2(1-cos(t))^2 + cos^2(t)(1-cos(t))^2) dt. Воспользуемся тригонометрическими формулами: sint^2 = (1-cos(2t))/2, cos^2(t) = (1+cos(2t))/2. Заменим эти значения в предыдущей формуле: L = 3∫0^π √(((1-cos(2t))/2)(1-cos(t))^2 + ((1+cos(2t))/2)(1-cos(t))^2) dt. L = 3∫0^π √((1-cos(t))(1-cos(2t))) dt. Получили интеграл, который можно решить методом замены переменной. Пусть u = cos(t), тогда du = -sint dt и границы интегрирования изменятся от 1 до -1: L = -3∫1^-1 √((1-u)(1-2u^2+u^4)) du. L = 6∫0^1 √((1-u)(1-2u^2+u^4)) du. Для решения данного интеграла необходимо воспользоваться методом тригонометрических замен: u = cos(θ). Тогда: du = -sinθ dθ, 1-u^2 = sin^2θ, 1-2u^2+u^4 = sin^4θ. Подставим эти значения в интеграл: L = 6∫0^π/2 √((1-cosθ)sin^3θ) dθ. При интегрировании данного выражения была использована замена sin^2θ = 1 - cos^2θ. Решив данный интеграл, получим ответ: L = 12.698.