Для решения задачи используем метод комбинаторики. Из условия задачи следует, что каждый студент должен получить по одной медали. Всего у нас 20 студентов, следовательно, для раздачи медалей у нас есть 20 мест. Для каждого места мы имеем несколько вариантов медалей: золотая, серебряная или бронзовая. У нас есть 5 золотых медалей, 7 серебряных медалей и 8 бронзовых медалей. Значит, для первого студента у нас будет 5 вариантов золотых медалей, для второго студента - 4, и так далее. Аналогично с серебряными и бронзовыми медалями. Для подсчета количества вариантов раздачи медалей применим правило произведения. У нас есть 20 мест и для каждого места мы имеем несколько вариантов раздачи медалей. Для золотых медалей: первый студент может получить одну из пяти золотых медалей, второй студент может получить одну из четырех золотых медалей и т.д. Всего у нас есть 20 студентов, следовательно, количество вариантов раздачи золотых медалей равно: 5 * 4 * 3 * ... * 2 * 1 = 5!. Аналогично для серебряных медалей: первый студент может получить одну из семи серебряных медалей, второй студент может получить одну из шести серебряных медалей и т.д. Количество вариантов раздачи серебряных медалей равно: 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 7!. Для бронзовых медалей: первый студент может получить одну из восьми бронзовых медалей, второй студент может получить одну из семи бронзовых медалей и т.д. Количество вариантов раздачи бронзовых медалей равно: 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 8!. Теперь посчитаем общее количество вариантов раздачи медалей, перемножив количество вариантов раздачи золотых, серебряных и бронзовых медалей: 5! * 7! * 8!. Значение этого выражения можно вычислить с помощью калькулятора или компьютера. Получится довольно большое число, которое далее можно упростить. Для этого можно использовать свойство факториалов: n! = n * (n-1)! Применяя это свойство к каждому факториалу в выражении, получаем: 5! * 7! * 8! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 Полученное выражение можно упростить: 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 * 4 * 3 * 2 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 Замечаем, что у нас есть сокращения: 5 * 5 * 4 * 4 * 3 * 3 * 2 * 2 * 7 * 7 * 6 * 6 * 8 * 1 = (5*4*3*2)^3 * 7*6*8*1 Мы можем записать (5*4*3*2)^3 как 4!^3: 4!^3 * 7*6*8*1 = (4!)^3 * 7! = 24^3 * 7! Заметим, что 24 = 4!. Подставляя это значение обратно в выражение, получаем: (4!)^3 * 7! = (24)^3 * 7! Посчитаем значение (24)^3: (24)^3 = (4!)^3 = (4*3*2*1)^3 = 24^3 Подставляем это значение обратно в выражение: 24^3 * 7! = (24^3 * 7!) (24^3 = 13824) 13824 * 7! = 13824 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 (13824 * 7 = 96768) 96768 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 96768 * 720 (96768 * 720 = 69672960) 69672960 Таким образом, существует 69672960 способов раздать медали студентам так, чтобы каждый студент получил по одной медали, и при этом золотых, серебряных и бронзовых медалей было достаточно для всех.