Для того чтобы число (n-4)! не делилось на n, нужно, чтобы n был простым числом или же было равно квадрату простого числа. Для того, чтобы понять, почему это так, нужно взглянуть на теорему Уилсона.
Теорема Уилсона утверждает, что если p – простое число, то (p-1)! ≡ -1 (mod p). Это означает, что (p-1)! + 1 делится на p. Если мы возьмём n = p, то получится, что (n-4)! ≡ (p-4)! ≡ ((n-1)!)^(-1) ≡ (-1)^(-1) ≡ -1 (mod p), то есть (n-4)! + 1 делится на n.
Если же n не является простым числом, то оно обязательно разлагается на произведение двух простых чисел n = pq. Тогда (p-1)!, (q-1)! и (n-1)! делятся на p и q, а (n-4)! обязательно делится на (p-1)! и (q-1)!, так как n-4 < p и n-4 < q. Значит, (n-4)! обязательно делится на n.
Следовательно, нужно найти сумму всех простых чисел и квадратов простых чисел, которые меньше заданного n, чтобы выяснить, для каких составных n число (n-4)! не делится на n.
Пример: n = 20. Все простые числа и квадраты простых чисел, которые меньше 20, это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 4. Сумма этих чисел равна 81. Значит, для всех составных чисел, меньших 20, кроме 4 и 20, число (n-4)! делится на n.
Ответ: сумма всех составных чисел, для которых число (n-4)! не делится на n, равна 407.
