Дано, что последовательность чисел а1, а2, ..., а9 образует арифметическую прогрессию. Мы знаем, что a4 = 6. Формула для нахождения элемента прогрессии в общем виде выглядит следующим образом: an = a1 + (n-1)d, где an - n-й элемент прогрессии, a1 - первый элемент прогрессии, d - разность прогрессии. Мы знаем, что a4 = 6, то есть a1 + 3d = 6. Также, по условию, a9 = 3 * (среднее арифметическое). Чтобы найти среднее арифметическое, нужно найти сумму всех элементов прогрессии и разделить ее на количество элементов: среднее арифметическое = (a1 + a2 + ... + a9) / 9. Также, по формуле для нахождения суммы элементов арифметической прогрессии, сумма всех элементов равна: сумма = (n/2) * (a1 + an), где n - количество элементов прогрессии. В нашем случае n = 9. Известно, что а9 = 3 * (среднее арифметическое), поэтому а9 = (3/9) * (a1 + а9) = (a1 + а9)/3. Подставляя значения в полученные формулы, получим систему уравнений: a1 + 3d = 6, (1) а9 = (a1 + а9)/3. (2) Представим (2) в виде а9 - (a9/3) = a1/3, затем соответствующим образом приведем к требуемому виду, разделив обе части уравнения на (a9/3): 3 - 1 = (a1/a9), 2 = (a1/a9). Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (a1 и d): a1 + 3d = 6, (1) 2 = (a1/a9). (2) Решим систему уравнений. Подставим (2) в (1): a1 + 3d = 6, a1 = 2a9. 2a9 + 3d = 6. Мы знаем, что а4 = 6. Подставим значение a1 = 2a9 в формулу для a4: a4 = a1 + 3d, 6 = 2a9 + 3d, 6 = 2a9 + 3(a9 - a1/3), 6 = 2a9 + 3a9 - a1. Мы также знаем, что а9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел: а9 = 3 * (среднее арифметическое), а9 = 3 * ((a1 + а9)/9), а9 = (a1 + а9)/3. Подставляем это в предыдущее уравнение: 6 = 2a9 + 3a9 - a1, 6 = 5a9 - a1. Теперь имеем систему уравнений: a1 + 3d = 6, (1) 5a9 - a1 = 6. (3) Решим систему уравнений. Умножим (1) на 5 и прибавим к (3): 5a1 + 15d = 30, (4) 5a9 - a1 = 6. (3) (4) + (3) : 6a9 + 15d = 36, a9 + 3d = 6. Теперь имеем систему уравнений: a9 + 3d = 6, (5) 6a9 + 15d = 36. (6) Умножим (5) на 2 и вычтем из (6): 2a9 + 6d = 12, 6a9 + 15d = 36. (6) - (5) : 4a9 + 9d = 24, 6a9 + 15d = 36. (6) - (5) : -2a9 - 6d = -12, 6a9 + 15d = 36. (2) * 3 : 6 = (3a1/(a9)). Выразим a1: 6 * (a9/3) = a1, 2a9 = a1. Заменим a1 в первом уравнении: a1 + 3d = 6, 2a9 + 3d = 6. Умножим оба уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей: 3a1 + 9d = 18, 6a9 + 9d = 18. (5) + (3) : 3a1 + 9d + 3a9 + 3d = 18 + 18, 3(a1 + а9) = 36, (a1 + а9) = 12. Теперь, зная, что a1 + a9 = 12, можем решить систему уравнений: 2a9 = a1, a1 + a9 = 12. Подставляем значение a1 из первого уравнения во второе: 2a9 + a9 = 12, 3a9 = 12, a9 = 4. Теперь найдем a1, подставив значение a9 в первое уравнение: 2(4) = a1, a1 = 8. Таким образом, первый элемент арифметической прогрессии равен 8.