Дано, что последовательность чисел а1, а2, ..., а9 образует арифметическую прогрессию. Мы знаем, что a4 = 6.
Формула для нахождения элемента прогрессии в общем виде выглядит следующим образом:
an = a1 + (n-1)d,
где an - n-й элемент прогрессии,
a1 - первый элемент прогрессии,
d - разность прогрессии.
Мы знаем, что a4 = 6, то есть a1 + 3d = 6.
Также, по условию, a9 = 3 * (среднее арифметическое).
Чтобы найти среднее арифметическое, нужно найти сумму всех элементов прогрессии и разделить ее на количество элементов:
среднее арифметическое = (a1 + a2 + ... + a9) / 9.
Также, по формуле для нахождения суммы элементов арифметической прогрессии, сумма всех элементов равна:
сумма = (n/2) * (a1 + an),
где n - количество элементов прогрессии.
В нашем случае n = 9. Известно, что а9 = 3 * (среднее арифметическое), поэтому а9 = (3/9) * (a1 + а9) = (a1 + а9)/3.
Подставляя значения в полученные формулы, получим систему уравнений:
a1 + 3d = 6, (1)
а9 = (a1 + а9)/3. (2)
Представим (2) в виде а9 - (a9/3) = a1/3, затем соответствующим образом приведем к требуемому виду, разделив обе части уравнения на (a9/3):
3 - 1 = (a1/a9),
2 = (a1/a9).
Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (a1 и d):
a1 + 3d = 6, (1)
2 = (a1/a9). (2)
Решим систему уравнений. Подставим (2) в (1):
a1 + 3d = 6,
a1 = 2a9.
2a9 + 3d = 6.
Мы знаем, что а4 = 6. Подставим значение a1 = 2a9 в формулу для a4:
a4 = a1 + 3d,
6 = 2a9 + 3d,
6 = 2a9 + 3(a9 - a1/3),
6 = 2a9 + 3a9 - a1.
Мы также знаем, что а9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел:
а9 = 3 * (среднее арифметическое),
а9 = 3 * ((a1 + а9)/9),
а9 = (a1 + а9)/3.
Подставляем это в предыдущее уравнение:
6 = 2a9 + 3a9 - a1,
6 = 5a9 - a1.
Теперь имеем систему уравнений:
a1 + 3d = 6, (1)
5a9 - a1 = 6. (3)
Решим систему уравнений. Умножим (1) на 5 и прибавим к (3):
5a1 + 15d = 30, (4)
5a9 - a1 = 6. (3)
(4) + (3) :
6a9 + 15d = 36,
a9 + 3d = 6.
Теперь имеем систему уравнений:
a9 + 3d = 6, (5)
6a9 + 15d = 36. (6)
Умножим (5) на 2 и вычтем из (6):
2a9 + 6d = 12,
6a9 + 15d = 36.
(6) - (5) :
4a9 + 9d = 24,
6a9 + 15d = 36.
(6) - (5) :
-2a9 - 6d = -12,
6a9 + 15d = 36.
(2) * 3 :
6 = (3a1/(a9)).
Выразим a1:
6 * (a9/3) = a1,
2a9 = a1.
Заменим a1 в первом уравнении:
a1 + 3d = 6,
2a9 + 3d = 6.
Умножим оба уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:
3a1 + 9d = 18,
6a9 + 9d = 18.
(5) + (3) :
3a1 + 9d + 3a9 + 3d = 18 + 18,
3(a1 + а9) = 36,
(a1 + а9) = 12.
Теперь, зная, что a1 + a9 = 12, можем решить систему уравнений:
2a9 = a1,
a1 + a9 = 12.
Подставляем значение a1 из первого уравнения во второе:
2a9 + a9 = 12,
3a9 = 12,
a9 = 4.
Теперь найдем a1, подставив значение a9 в первое уравнение:
2(4) = a1,
a1 = 8.
Таким образом, первый элемент арифметической прогрессии равен 8.
