Имеется прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Пусть M - середина стороны AC. Требуется найти угол AYB. Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством равностороннего треугольника BMX. Обозначим угол ABC как α. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол BAC равен 90° - α. Мы знаем, что треугольник BMX равносторонний, поэтому у его углов равны 60°. Рассмотрим треугольники AXM и YXB. Угол AXM равен углу AXC (по свойству углов треугольника) и равен углу ABC - углу XBC (так как треугольник XBC прямоугольный). Значит, угол AXM = α - угол XBC. Угол YXB равен углу YBA (по свойству углов треугольника) + углу ABX (так как треугольник ABX прямоугольный) = угол YBA + 90° - α. Так как треугольник BMX равносторонний, то угол MBX = 60°. Заметим, что угол XAC = углу MAB (по свойству прямоугольного треугольника). Так как треугольник MBX равносторонний, то угол MXB = 60°. Тогда угол MAB = 180° - 60° - 90° + α = α - 150°. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что угол XBC = углу XAC. Тогда угол XBC = α. Таким образом, угол AXM = α - α = 0° и угол MAB = α - 150°. Из этих равенств следует, что угол AYB = 180° - угол AXM - угол MAB = 180° - 0° - (α - 150°) = 330° - α. Таким образом, угол AYB равен 330° - α.