Алгоритм быстрого вычисления ранга базируется на теореме Ферма и свойстве модульной арифметики. Согласно теореме Ферма, если a – целое число, а p – простое число, то выражение a^p - a будет делиться на p без остатка.
Данная теорема дает возможность быстрого вычисления a^p по модулю m, где m - некоторое число, так как мы можем заменить a^p на a^(p mod phi(m) + phi(m)*q), где phi(m) - функция Эйлера, которая вычисляет количество чисел, меньших m и взаимно простых с ним. Таким образом, a^(p mod phi(m) + phi(m)*q) ≡ a^(p mod phi(m)) (mod m), где q – целое число.
Теперь применим данный алгоритм к задаче вычисления 8115 mod 17. Заметим, что 17 - простое число, поэтому можно воспользоваться теоремой Ферма, а также заметить, что 8115 = 17*477 + 6, что позволит использовать описанный алгоритм.
Таким образом, 8115 ≡ 8115^(17-1) (mod 17), поскольку phi(17) = 16.
Заметив, что 8115^(17-1) = (8115^16)^0.5 * 8115^2, применим теорему Ферма, чтобы вычислить 8115^(17-1) по модулю 17:
8115^(17-1) = 1^477 * 8115^2 (mod 17) = 16.
Таким образом, 8115 mod 17 = 8115 - 17 * int(8115/17) = 15.
Можно проверить, что 8115 ≡ 15 (mod 17).
Таким образом, применив алгоритм быстрого вычисления ранга, мы получили, что 8115 mod 17 = 15.
