Пусть стоимость одной ручки равна x рублей, а стоимость одного карандаша равна y рублей.
По условию задачи, Арина купила 4 ручки и 1 карандаш и заплатила более 50 рублей. Мы можем составить следующее неравенство:
4x + y > 50 (1)
Также, по условию задачи, Белла купила 6 ручек и 3 карандаша и заплатила менее 90 рублей. Мы можем составить следующее неравенство:
6x + 3y < 90 (2)
Мы хотим найти минимальную стоимость 1 ручки и 1 карандаша вместе, то есть значение выражения x + y.
Для решения данной системы неравенств необходимо построить графики обоих неравенств и найти их общую область пересечения.
Рассмотрим первое неравенство (1):
4x + y > 50
Преобразуем его к виду y > -4x + 50.
Для построения графика неравенства мы можем нарисовать график его равенства: y = -4x + 50, и затем закрасить область выше этой прямой.
График равенства y = -4x + 50 представляет собой прямую.
Чтобы построить ее, необходимо найти две точки, через которые она проходит.
Подставим x = 0 в уравнение:
y = -4 * 0 + 50 = 50,
получаем точку (0, 50).
Подставим y = 0 в уравнение:
0 = -4x + 50,
4x = 50,
x = 50/4 = 12.5,
получаем точку (12.5, 0).
Построим на координатной плоскости прямую, проходящую через эти две точки, и закрасим область выше этой прямой.
Рассмотрим второе неравенство (2):
6x + 3y < 90
Преобразуем его к виду y < -2x + 30.
Для построения графика неравенства мы можем нарисовать график его равенства: y = -2x + 30, и затем закрасить область ниже этой прямой.
График равенства y = -2x + 30 представляет собой прямую.
Чтобы построить ее, необходимо найти две точки, через которые она проходит.
Подставим x = 0 в уравнение:
y = -2 * 0 + 30 = 30,
получаем точку (0, 30).
Подставим y = 0 в уравнение:
0 = -2x + 30,
2x = 30,
x = 30/2 = 15,
получаем точку (15, 0).
Построим на координатной плоскости прямую, проходящую через эти две точки, и закрасим область ниже этой прямой.
Теперь нам нужно найти область пересечения этих двух графиков, то есть область, которую закрашены оба неравенства.
На графике видно, что область пересечения находится в верхней левой части координатной плоскости, поскольку мы ищем минимальную стоимость ручки и карандаша.
Найдем координаты точки пересечения прямых.
Пусть точка пересечения обозначается как (a, b).
Подставим координаты этой точки в оба уравнения и решим получившуюся систему уравнений:
-4a + b = 50,
-2a + b = 30.
Мы можем решить эту систему методом замены или методом сложения.
Воспользуемся методом сложения.
Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:
-8a + 2b = 100,
-2a + b = 30,
-8a - 2a + 2b + b = 100 + 30,
-10a + 3b = 130.
Умножим второе уравнение на 8 и вычтем его из первого уравнения:
-8a + 2b = 100,
-16a + 8b = 240,
8a - 16a + 2b - 8b = 100 - 240,
-8a - 6b = -140,
-10a + 3b - (-8a - 6b) = 130 - (-140),
-10a + 3b + 8a + 6b = 130 + 140,
-2a + 9b = 270.
Теперь решим получившуюся систему уравнений:
-10a + 3b = 130,
-2a + 9b = 270.
Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:
-20a + 6b = 260,
-2a + 9b = 270,
-20a - 2a + 6b + 9b = 260 + 270,
-22a + 15b = 530.
Теперь у нас есть система уравнений:
-10a + 3b = 130,
-22a + 15b = 530.
Умножим первое уравнение на 5 и сложим его с вторым уравнением:
-50a + 15b = 650,
-22a + 15b = 530,
-50a - 22a + 15b + 15b = 650 + 530,
-72a + 30b = 1180.
Теперь у нас есть система уравнений:
-50a + 15b = 650,
-72a + 30b = 1180.
Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:
-100a + 30b = 1300,
-72a + 30b = 1180,
-100a - 72a + 30b + 30b = 1300 + 1180,
-172a + 60b = 2480.
Теперь у нас есть система уравнений:
-100a + 30b = 1300,
-172a + 60b = 2480.
Умножим первое уравнение на 6 и вычтем его из второго уравнения:
-600a + 180b = 7800,
-172a + 60b = 2480,
-600a - (-172a) + 180b - 60b = 7800 - 2480,
-600a + 172a + 180b - 60b = 7800 - 2480,
-428a + 120b = 5320.
Теперь у нас есть система уравнений:
-100a + 30b = 1300,
-428a + 120b = 5320.
Умножим первое уравнение на 4 и сложим его с вторым уравнением:
-400a + 120b = 5200,
-428a + 120b = 5320,
-400a - 428a + 120b + 120b = 5200 + 5320,
-828a + 240b = 10520.
Теперь у нас есть система уравнений:
-400a + 120b = 5200,
-828a + 240b = 10520.
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем его из второго уравнения:
-800a + 240b = 10400,
-828a + 240b = 10520,
-800a - (-828a) + 240b - 240b = 10400 - 10520,
-800a + 828a + 240b - 240b = 10400 - 10520,
28a = 120,
a = 120/28 = 30/7.
Подставим значение a в одно из изначальных уравнений, например, в первое уравнение:
-10a + 3b = 130,
-10 * (30/7) + 3b = 130,
(-300/7) + 3b = 130,
3b = 130 + (300/7),
3b = (910 + 300)/7,
3b = 1210/7,
b = (1210/7) / 3 = (1210/7) * (1/3) = 1210/21.
Таким образом, получаем, что a = 30/7 и b = 1210/21.
Теперь, чтобы найти стоимость 1 ручки и 1 карандаша вместе, выразим их через x и y:
x + y = (30/7) + (1210/21).
Для нахождения минимально возможной стоимости ручки и карандаша необходимо сократить полученную дробь.
Найдем НОК(7, 21) = 21.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а числитель и знаменатель второй дроби на 7:
x + y = (30/7) * (3/3) + (1210/21) * (7/7),
x + y = 90/21 + 8470/147,
x + y = (90 * 7 + 8470) / 21,
x + y = (630 + 8470) / 21,
x + y = 9100/21.
Таким образом, минимальное количество рублей, которое могут стоить 1 ручка и 1 карандаш вместе, составляет 9100/21 рублей.