Пусть стоимость 1 ручки равна x рублей, а стоимость 1 карандаша равна y рублей. Из условия задачи, мы знаем, что Алиса купила 6 ручек и 1 карандаш и заплатила более 70 рублей: 6x + 1y > 70 Также известно, что Берта купила 9 ручек и 3 карандаша и заплатила менее 120 рублей: 9x + 3y < 120 Теперь нам нужно найти минимальное значение x+y. Для этого мы можем представить его в виде суммы целой части и дробной части: x + y = a + b, где a - целая часть, b - дробная часть. Мы хотим минимизировать x+y, поэтому нам нужно найти минимальное возможное значение a+b. Отметим, что и x, и y являются натуральными числами, поэтому и a, и b также должны быть натуральными числами. Пусть a = int(x + y), где int(x + y) - наибольшее целое число, меньшее или равное x + y. Тогда b = x + y - a. Теперь воспользуемся методом двойственного симплекса для решения данной задачи на оптимизацию. Для этого заменим неравенства на равенства. 1. 6x + y = 70 + e1, где e1 >= 0 (ограничение числа ручек и карандашей, купленных Алисой) 2. 9x + 3y = 120 + e2, где e2 >= 0 (ограничение числа ручек и карандашей, купленных Бертой) Теперь составим симплекс таблицу: *Примечание:* e1 и e2 - переменные слака, которые представляют излишки товара, купленного Алисой и Бертой соответственно. | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 6 | 1 | 1 | 70 | | 2 | 9 | 3 | 0 | 120 | | 3 | -x-y | 0 | 0 | -a | Для удобства дальнейших вычислений, заменим -x-y на z. | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 6 | 1 | 1 | 70 | | 2 | 9 | 3 | 0 | 120 | | 3 | -z | 0 | 0 | -a | Теперь приведем таблицу к канонической форме. Для этого применим операцию приведения к нулю элементов первого столбца, кроме самого первого. 1. Поделим первую строку на 6: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 1 | 1/6 |1/6 | 70/6 | | 2 | 9 | 3 | 0 | 120 | | 3 | -z | 0 | 0 | -a | 2. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 1: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 0 |1/6-1|1/6 | 70/6 | | 2 | 9 | 3 | 0 | 120 | | 3 | -z | 0 | 0 | -a | 3. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 9: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 0 |1/6-1|1/6 | 70/6 | | 2 | 0 | -6 |-9 | 120 | | 3 | -z | 0 | 0 | -a | 4. Вычтем из четвертой строки первую, умноженную на z: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 0 |1/6-1|1/6 | 70/6 | | 2 | 0 | -6 |-9 | 120 | | 3 | 0 |-z | 0 | -a | 5. Поделим вторую строку на 1/6-1: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 0 | -5 | 1 | 15 | | 2 | 0 | -6 |-9 | 120 | | 3 | 0 |-z | 0 | -a | 6. Умножим вторую строку на -1: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 0 | 5 |-1 | -15 | | 2 | 0 | -6 |-9 | 120 | | 3 | 0 |-z | 0 | -a | 7. Поделим третью строку на -6: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | 1 | 0 | a | | 1 | 0 | 5 |-1 | -15 | | 2 | 0 | 1 |1.5 | -20 | | 3 | 0 |-z | 0 | -a | 8. Вычтем из первой строки вторую: | | 6x | y | e1 | 70 | |-----|--------|-----|----|-------| | 0 | 1 | -4 |-1 | 85 | | 1 | 0 | 5 |-1 | -15 | | 2 | 0 | 1 |1.5 | -20 | | 3 | 0 |-z | 0 | -a | Таким образом, оптимальное решение задачи найдено. Заметим, что коэффициент при y во второй строке отрицательный, это говорит о том, что в точке, где достигается минимум, y оказывается отрицательным. Поэтому минимальное возможное значение x+y равно 85. Ответ: Минимальное количество рублей, которое могут стоить 1 ручка и 1 карандаш вместе, равно 85 рублей.